Matematik
Hjælp! søges til math!
Opgave 1)
I en beholder med vand er vandhøjden 0,5 m. der åbnes for en bundventil for at tømme beholderen. Vandhøjden y, målt i meter, kan nu beskrives som en funktion af tiden t, målt i sekunder. Under tømningen aftager vandhøjden på en sådan måde, at den hastighed, hvormed vandhøjden ændrer sig, til ethvert tidspunkt er proportional med kvadratroden af vandhøjden. Med de valgte enheder er proportionalitetsfaktorens værdi -0,04. vandhøjden som funktion af tiden er således fastlagt ved en differentialligning.
Opskriv denne differentialligning og bestem den tid det tager at tømme beholderen.
Løsning:
Ud fra de oplysninger vi får kan vi opskrive følgende differentialligning:
dy/dt = k * kvadratrod af (y) , hvor k= -0,04
Der skal ikke skrives mere tekst om hvordan man er kommet frem differentialligningen vel.
Er ikke sikker på om det er sådan her at man skal bestemme hvor langt tid det tager at tømme beholderen.
Fra teorien haves:
y` = k * y <=> f(x)= c * e ^(k*x)
y`= -0,04 * kvadratrud af (y) <=>
y = c * e ^(-0,04 * x)
Så er det gode spørgsmål hvordan skal jeg fortsætte?
Opgave 2)
I en model for rygtespredning inden for en gruppe på 500 personer er antallet af personer y, der har hørt et bestemt rygte, en funktion af tiden t. der gælder at den hastighed hvormed y vokser er proportionel med produktet af y og det antal personer der ikke har hørt rygtet. Proportionalitetsfaktoren er 0,0014 når tiden t måles i døgn.
Opstil en differentialligning som y må opfylde.
Med hvilken hastighed vokser y på det tidspunkt hvor 125 personer i gruppen har hørt rygtet?
Løsning:
dy/dt = 0,0014*(y(500-y)) , yE[0 ; 500]
Der skal ikke skrives mere tekst om hvordan man er kommet frem differentialligningen vel.
Så aner jeg ikke hvordan man kan komme i gang med den sidste opgave:
På forhånd tak
Med venlig hilsen
Liv Rasmusen
Svar #1
10. september 2005 af Epsilon (Slettet)
" Der skal ikke skrives mere tekst om hvordan man er kommet frem differentialligningen vel. "
Nej, det er fuldt ud tilstrækkeligt.
Det efterfølgende er forkert; den angivne løsningsformel gælder _kun_ for differentialligninger af formen
dy/dt = k*y
og den kategori falder differentialligningen
dy/dt = (-0.04)*sqrt(y) (*)
tydeligvis ikke ind under. Differentialligningen (*) kan derimod håndteres ud fra teorien for separable differentialligninger. Bemærk, at den omspurgte partikulære løsning skal opfylde, at y(0) = 0,5 ifølge opgaveteksten (beholderen er fyldt, når der åbnes for bundventilen).
ad Opgave 2)
" Der skal ikke skrives mere tekst om hvordan man er kommet frem differentialligningen vel. "
Man kan bemærke, at eftersom dy/dt er proportional med såvel y som (500-y), da er dy/dt proportional med produktet: y*(500-y). Det må være tilstrækkelig begrundelse for den opskrevne differentialligning.
Det sidste spørgsmål er let, hvis du læser opgaveteksten ordentligt. Du får oplyst y til et ikke nærmere specificeret tidspunkt (lad os sige t') og skal beregne væksthastigheden
dy/dt|_t = t'
(læs: dy/dt evalueret til tidspunktet t = t').
//Epsilon
Svar #2
11. september 2005 af Liv2004 (Slettet)
Løsning:
Ud fra de oplysninger vi får kan vi opskrive følgende differentialligning:
dy/dt = k * kvadratrod af (y) , hvor k= -0,04 , y(0) = 0,5
Så er jeg med på at man skal bruge:
dy/dt= h(t) * g(y)
g(y)= sqrt(y) men hvad skal man skrive som h(t) er det bare -0,04
opgave 2) (tror at den er rigtig)
ud fra de oplysninger vi får kan vi opskrive følgende differentialligning:
Man kan bemærke, at eftersom dy/dt er proportional med såvel y som (500-y), da er dy/dt proportional med produktet: y*(500-y). Det må være tilstrækkelig begrundelse for den opskrevne differentialligning.
dy/dt = 0,0014*(y(500-y)) , yE[0 ; 500]
bestemmelse af hvilken hastighed y vokser på det tidspunkt hvor 125 personer i gruppen har hørt rygtet:
y`= 0,0014*(y(500-y)) (og i stedet for y skal vi bare skrive 125 personer:)
y`= 0,0014 * (125 ( 500- 125))
y`= 65,625 personer i døgnet
Svar #3
11. september 2005 af Epsilon (Slettet)
ad 1)
Netop: h(t) = -0,04. Der er intet krav om, at h ikke må være en konstant.
ad 2)
Enig. Men nu skal du ikke uden videre skrive mit forslag:
"Man kan bemærke, at eftersom dy/dt er proportional med såvel y som (500-y), da er dy/dt proportional med produktet: y*(500-y). Det må være tilstrækkelig begrundelse for den opskrevne differentialligning."
ordret af i din besvarelse. Det var ment som et forslag til, hvad der _kunne_ være relevant at bemærke.
//Epsilon
Svar #4
11. september 2005 af Liv2004 (Slettet)
hvad skal stamfunktionen til h så være skal jeg bare skrive -0,04
Svar #5
11. september 2005 af Epsilon (Slettet)
S[1/g(y)]dy = S[h(t)]dt
og regn videre derudfra, idet du inddrager begyndelsesværdien y(0) = 0,5 på et passende sted.
//Epsilon
Svar #6
11. september 2005 af Liv2004 (Slettet)
2 * y ^(1/2) = S[h(t)]dt + c <=>
2*sqrt(y)= S[h(t)]dt + c
nu ved jeg ikke ingen idee om hvordan jeg kan går videre: fordi jeg ved ikke had eg kan bruge om h(t)
skal man indsætte c til at være -0,04 og y til at være 0,5
Svar #7
11. september 2005 af Epsilon (Slettet)
Dernæst udnytter du begyndelsesbetingelsen y(0) = 0,5 til at fastlægge integrationskonstanten, c.
//Epsilon
Svar #8
11. september 2005 af Liv2004 (Slettet)
jeg bliver helt forviret med havd jeg skal gøre med h(t)
Svar #9
11. september 2005 af Epsilon (Slettet)
S[h(t)]dt =
S[-0,04]dt = -0,04t + c
Andet er der såmænd ikke i det.
//Epsilon
Svar #10
12. september 2005 af Liv2004 (Slettet)
Ud fra de oplysninger vi får kan vi opskrive følgende differentialligning:
dy/dt = k * sqrt(y) , hvor k = - 0,04
Fra teorien haves:
y`= g(y) * h(t) <=>
f(x) = G^- 1 (H(x)+c)
men vi skal bemærke at G(f(x))=H(x) + c også kan skrives som S[1/g(y)] * dy = S[h(x)*dx+c
fra teorien kan vi så skrive:
S[-0,04] * dt = -0,04 *t + c
S[1/g(y)]*dy= 2* sqrt(y)
Deraf har vi så:
2* sqrt(y) = -0,04 *t + c
sqrt(y) = (-0,04*t+c)/2
y = ((-0,04*t+c)/(2))^2
ud fra oplysningen y(0)=0,5 kan vi bestemme c:
0,5 = ((-0,04*0+c)/(2))^2
1,4142 = c
ud fra de beregnede værdier har vi så y til at være:
y = ((-0,04*t+1,4142)/(2))^2
skal man så skrive at:
0 større lig med y mindre lig med 0,5
så sætter vi y til at være nul og isolere t og for 35,36 sekunder
kan det passe:
PS!
Mange tak for hjælpen håber ikke at jeg var alt for besværlig men jeg vidste ikke hvad jeg skulle gøre med h(t)
Svar #11
12. september 2005 af Epsilon (Slettet)
En forskrift for vandhøjden h som funktion af tiden t er
h(t) = (1/sqrt(2) - 0,02t)^2
Man kunne med rette argumentere for, at der reelt er tale om en model, så det kan forsvares at approksimere 1/sqrt(2) ~ 0,7071. Man bør i hvert fald anvende så tilpas mange decimaler fra grafregnerens tilnærmelse til 1/sqrt(2), at der ikke tabes nævneværdig præcision i tidsrummet, som skal beregnes i det sidste opgavespørgsmål.
Kort sagt: den forskrift, som du har opskrevet er fuldt ud tilstrækkelig.
" skal man så skrive at:
0 større lig med y mindre lig med 0,5 "
Ja, du mener, at
0 =
Det er præcis i dette område, at differentialligningsmodellen vides at være gyldig.
" så sætter vi y til at være nul og isolere t og for 35,36 sekunder "
Enig. I den type spørgsmål er det at foretrække, at man først løser ligningen og dernæst skriver en supplerende kommentar. Eksempelvis kunne man skrive:
" Beholderen tømmes til det tidspunkt t', hvor h(t') = 0. Vi har
h(t') = 0 <=>
1/sqrt(2) - 0,02t = 0 <=>
t = 1/(0,02*sqrt(2)) = 50/sqrt(2) ~ 35,6
Beholderen tømmes derfor efter ca. 35,6s ifølge differentialligningsmodellen. "
Til dette:
" Mange tak for hjælpen håber ikke at jeg var alt for besværlig men jeg vidste ikke hvad jeg skulle gøre med h(t) "
vil jeg sige "velbekomme" og så for øvrigt bemærke, at det trods alt er fordelagtigt at få hold på sådanne tvivlsspørgsmål forinden den skriftlige eksamen :-)
//Epsilon
Svar #12
12. september 2005 af Epsilon (Slettet)
Vi tager lige ligningen én gang til, men retteligt med t' i stedet for t;
h(t') = 0 <=>
1/sqrt(2) - 0,02t' = 0 <=>
t' = 1/(0,02*sqrt(2)) = 50/sqrt(2) ~ 35,6
//Epsilon
Skriv et svar til: Hjælp! søges til math!
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.