legeme

Umiddelbart forstår jeg ved et legeme:  en kugle, kubus, pyramide, altså indefor matematik et volumen med specifik form, hvor overflade, inertimoment osv. kan beregnes.

Men det afhænger jo af sammenhængen det indgår i.

et legeme
    er

           en mængde L med mindst to elementer, hvori der er givet to overalt definerde kompositionsregler,
           addition og multiplikation, der har følgende egenskaber:

                            1)  L er en kommutativ gruppe med hensyn til addition

                            2)  L \ {0} er en kommutativ gruppe med hensyn til multiplikation

                            3)  Der gælder den distributive lov:

                                                                ∀a,b,c ∈ L:       a·(b+c)  = a·b + a·c

        

#2
ok, bare sådan helt nede på jorden, som jeg forstår dig, så er det en mængde med mindst to tal?? hvad kan det eksempelvis være

 

        

                   f.eks.     N   (mængden af naturlige tal)

Okay.

Men:

1: det er jo langt flere end to elementer. -faktisk uendeligt mange. HVis det nu kun skal være to tal. hvad kunne det så være?

2: hvad er så forskellen på en mængde tal og et legeme? er et legeme bare en mængde tal med specifikke egenskaber?

#5

Et legeme er en talmængde L udstyret med to kompositioner, der sædvanligvis kaldes addition (+) og multiplikation (·), og som opfylder betingelserne 1), 2), 3) i #2.

Mængden N af naturlige tal er en talmængde, men den er ikke et legeme.

 

Ok.

Hvad er kompositioner? er det en slags betingelser?

Kan du så give mig et eksempel på et legeme. -når nu du ikke mener N er det. Hvorfor er det egentlig ikke det?

 

#7

Som nævnt i #6 er kompositioner de to regningsarter addition og multiplikation.

Eksempler på tallegemer er mængden af de rationale tal (Q,+,·) , mængden af de reelle tal (R,+,·), og mængden af de komplekse tal (C,+,·).

Mængden N af naturlige tal er ikke et legeme, da den ikke er stabil over for multiplikation.

#8

Min begrundelse i #8 for at N ikke er et legeme er ikke korrekt. N er ikke et legeme, da N\{0} ikke er en kommutativ gruppe med hensyn til multiplikation. I øvrigt er mængden N af naturlige tal heller ikke kommutativ gruppe over for addition, da vi her kommer til at mange alle de hele negative tal.

Et legeme er en algebraisk struktur fastlagt ud fra visse forudsætninger som et samspil mellem en mængdes objekter  og de indgående kompositionsregler og relationer. Mængdens objekter kan være delmængder af de reelle tal.

Jeg forstår det ikke. Kan nogen give en forklaring og et eksempel - helt nede på jorden uden alle mulige fine udtryk??

#11

Forstår du ikke forklaringen i #2? Du har fået tre eksempler på tallegemer i #8.

Næh.  

De ekempler jeg har fået har så vidt jeg kan se langt flere end to elementer. Kan et legeme også bare bestå of tallene ½, 1,2 og 3?

Og hvad er så forskellen på Q (de rationale tal) og legemet Q

Og hvad betyder det i øvrigt når I skriver (Q,+,·) - og hvordan udtales det?

 

 

 

 

 

#13

Ja, alle de givne eksempler på tallegemer har uendeligt mange elementer.

Et tallegeme kan ikke bare bestå af de tal, du nævner. For ethvert tal a i legemet, skal for eksempel a+a, a+a+a, osv, også være i legemet.

Mængden Q af de rationale tal er, udstyret med kompositionerne addition og multiplikation, et legeme. Ved at skrive det (Q,+,·) angiver man helt præcist, at der er tale om kompositionerne + og · som de to kompositioner.

Ok. Tak  for svar.

Tror jeg er ved at få styr på det.

Kan du eller andre give eksempel på et lille legeme? altså en hvor der ikke er ret mange elementer -  I skriver jo at der skal være mindst to, men i eksemplerne er der uendeligt mange. Jeg har svært ved at forestille mig andre eksempler selv....

#15

Ja, der skal være mindst to elementer for at sikre, at de to neutralelementer, 0 for addition, og 1 for multiplikation, ikke er det samme element. Men eftersom legemet skal være stabilt over for addition, medfører det jo så, at det er svært at komme uden om, at legemet må indeholde en delmængde, der er isomorf med mængden af de hele tal.

# 15  Du er ved at nærme dig et meget centralt område indenfor de reelle tals egenskaber: Findes der en delmængde M af R ,  hvor M ikke kan optælles, men dog for lille til at kunne afbildes én til én på R ? Svaret herpå ligger endnu lidt ud i tågen.

 

Hej Susanne
Selv om det er et ret gammelt spørgsmål, synes du fortjener et rigtigt svar. Du er både videbegærlig og intelligent. Og du har jo nok fundet ud af det i mellemtiden.
Du har lært lidt matematik som går ud på at regne med tal, men moderne matematik handler om struktur uden indhold og det du lærer ( lærte) er indhold uden struktur. Altså ikke en god kombination.
Et simpelt eksembel på struktur uden indhold er en gruppe. Det er en nængde med en binær operation mellem elementerne fx gange eller plus eller noget andet der forener to elementer. Og så skal a+(b+c) = ( a+b) +c gælde for alle elementer hvor plustegnet kunne være et gangetegn istedet afhængigt af hvad der er valgt for gruppen. . Grupper har et neutralt element som gør ingenting og for ethvert element et inverst element. Fx for + bliver det a+0 = a og det inverse element til a er så -a og a+ (-a) = 0. Der er ikke både plus og gange for gruppen kun en af delene.
Det er en relativ simple struktur. Indholdet? Der er intet men du kan selv fylde indhold i. Slå op på wikipedia.
En lidt mere kompliceret struktur er en ring og adderer vi mere struktur får vi et Tal legeme. Et eksempel er mængden af alle reelle tal. Det er så " heldigt" at alle de almindelige regneregler gælder for et legeme. De er nemlig brugt som forbillede. Indhold? Der er intet du kan selv fylde indhold i. Algebra handler om struktur. Når du fylder indhold i skal du bare checke at dine elementer kan alle de operationer de skal kunne. Så slå op på wikipedia " legeme matematik" og se eksempler. Held og lykke.,