Cirkel og skæringspunkter

Bestem først ligningen for tangenten til c1 i (7,8) . Bestem ligningen for cirklen c2, og bestem så skæringspunktet mellem linien og cirklen c2.

Nu har jeg bestemt de to ligninger, men hvordan skal jeg bestemme skæringspunktet mellem linjen og cirklen c2?

Hvis linien har ligningen

y = ax + b

og cirklen har ligningen

(x - x₀)² + (y - y₀)² = r²

skal skæringspunkternes koordinater (x,y) opfylde begge ligninger.

           Cirklen 
                                          c₁:   (x -11)² + (y-5)² = 5²

tangenten til c₁ i (7,8)
har ligningen
                                                  (7 -11)·(x -11) + (8-5)·(y-5) = 25

                                                  (-4)·(x -11) + (3)·(y-5) = 25

                                                  -4x + 44 + 3y - 15 = 25

                                                  3y = 4x + 25 - 29

                                            L:    y = (4/3)x - (4/3)

skæring mellem
cirklen
                                          c₂:    (x - 5)² + (y -1)² = 3²    og    linjen   L:   y = (4/3)x - (4/3)
                                         

     kræver
                                                 (x - 5)² + ((4/3)x - (4/3) -1)² =  9   ...............
 

Mange tak for hjælpen!

Det var meget svært at reducerer, så jeg brugte 1.33 istedet for (4/3). Så jeg har nu fundet det første skæringspunkt.

Men der er jo to steder hvor linjen skærer. Hvordan finder jeg den anden?

                                                (x - 5)² + ((4/3)x - (4/3) -1)² =  9

                                                (x - 5)² + ((4/3)x - (7/3))² =  9

                                                (25/9)x² - (146/9)x + (193/9) = 0

                                                25x² - 146x + 193 = 0

                                                    x₁ = (73 - 6√(14)) / 25 = 2,022      v     x₂ = (73 + 6√(14)) / 25 = 3,818

       koordinerede 2.koordinater

                                                    y₁ =  = (4/3)·2,022 - (4/3) = 1,363     v     y₂ = (4/3)·3,818 - (4/3) = 3,757

                                                                                            ( 3 dec.)

       skæringspunkter:

                                                   S₁ = (2.022 ; 1.363)      og       S₂ = (3.818 ; 3.757)

Mange tak - det hjalp mig utrolig meget!