Matematik

Opgave med vektorfelt

12. september 2005 af Export (Slettet)

Jeg vil gerne have hjælp til følgende opgave:

"Betragt vektorfeltet

X(x,y) = [a+b(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2, -2bxy/(x^2+y^2)^2],

hvor a og b er positive konstanter.

(a)
Vis, at funktionen

F(x,y) = ax+bx/(x^2+y^2)

er en potentiel funktion for X.

(b)
Vis, at for et punkt (x,y) på en cirkel med radius (b/a)^(1/2) (dvs., at x^2+y^2 = b/a), er vektorfeltet tangent til cirklen i punktet.

(c)
Vis, at de to punkter (+/- (b/a)^(1/2), 0) er de eneste fikspunkter i flowet."

I spørgsmål (a), har jeg bestemt gradienten af F(x,y) og vist, at den er lig med X(x,y). Er dette ikke nok til at besvare spørgsmål (a)?

I spørgsmål (b) og (c), er jeg lidt på bar bund, så håber på noget hjælp.

Svar #1
12. september 2005 af Export (Slettet)

Jeg har også svaret på spørgsmål (b) nu: Jeg kalder vektoren fra centrum af cirklen ud til et vilkårligt punkt på cirkelranden for r = (x,y), og så viser jeg, at r*X = 0. Er det ikke nok?

Mht. (c) så kan jeg stadig ikke få det hen, så lidt hjælp vil være rart. Jeg skal jo løse X(x,y) = (0,0), og vise at de to angivne værdier er de eneste, der løser ligningssystemet, men jeg kan ikke få det til at passe, så håber at der er en, der gider at vise mig hvordan jeg skal gøre.

Brugbart svar (0)

Svar #2
12. september 2005 af Epsilon (Slettet)

ad (a)
Det hedder en 'potentialfunktion' (ikke en 'potentiel funktion')

" I spørgsmål (a), har jeg bestemt gradienten af F(x,y) og vist, at den er lig med X(x,y). Er dette ikke nok til at besvare spørgsmål (a)? "

Jo, præcis.

ad (b)
" Jeg kalder vektoren fra centrum af cirklen ud til et vilkårligt punkt på cirkelranden for r = (x,y), og så viser jeg, at r*X = 0. Er det ikke nok? "

Jo.

ad (c)
Du skal ganske rigtigt løse ligningssystemet

X(x,y) = (0,0)

Bemærk, at spørgsmålet indeholder to udsagn:

(1) De angivne punkter er _fikspunkter_.
(2) Der er _ikke_ andre fikspunkter.

som skal vises. (1) er ligetil.

Vink til (2): Giv dig til at løse ligningssystemet og udnyt, hvad du ved om a og b (jf. opgaveteksten).

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. september 2005 af Epsilon (Slettet)

I øvrigt bør du vist opdatere din brugerprofil. Mig bekendt er vektorfelter i hvert fald ikke HF-stof, men hører derimod til i matematik på universitetsniveau. :-)

//Epsilon

Svar #4
12. september 2005 af Export (Slettet)

#3: Jeg har verificeret (1) -- det var ikke noget problem. Med hensyn til (2), så har jeg prøvet at løse X(x,y) = (0,0) og så indsætte x^2+y^2 = b/a undervejs, men jeg kan ikke få det hen, så håber på lidt mere hjælp.

Brugbart svar (0)

Svar #5
12. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#4: Nuvel; betragt da ligningssystemet

X(x,y) = (0,0)

Skrevet ud i koordinater haves

a + b(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2 (*)
-2bxy/(x^2+y^2)^2 = 0 (**)

Hvad kan læses ud af disse? Glem nu ikke din viden om a og b. Den er vital i dette spørgsmål!

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #6
12. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#5: Sikke noget vrøvl, jeg fik liret af i (*). Der skal selvfølgelig stå

a + b(y^2 - x^2)/(x^2 + y^2)^2 = 0 (*)

//Epsilon

Svar #7
12. september 2005 af Export (Slettet)

#5: Ved at addere -1 gange (**) til (*) [jeg går ud fra, at du har glemt "= 0" i (*)] og reducere, får jeg følgende:

-1 = a/b*(y-x)^2,

hvor jeg undervejs bruger, at x^2+y^2 = b/a. Men det kan jeg ikke rigtig se, hvordan jeg kan bruge det til noget fornuftigt, så jeg jeg sikkert en helt forkert tankegang.

Svar #8
12. september 2005 af Export (Slettet)

#7: Sorry, jeg så ikke #6.

Svar #9
12. september 2005 af Export (Slettet)

Eller nej, det jeg har fået i #7 passer vist ikke, når jeg nu regner efter.

Brugbart svar (0)

Svar #10
12. september 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Jeg tillader mig at blande mig :-)

Af #5 har du, at

a + b(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2 = -2bxy/(x^2+y^2)^2

[her bruges, at x^2+y^2 = b/a]

a(b/a)^2/(b/a)^2 + b(y^2-x^2)/(b/a)^2 = -2bxy/(b/a)^2

b^2/a + by^2 - bx^2 = -2bxy

b/a + y^2 - x^2 = -2xy

[igen bruges, at x^2+y^2 = b/a]

x^2+y^2 + y^2 - x^2 = -2xy

y^2 = -xy

x = -y.

Dette er kun opfyldt for (x,y) = (0,0), men dette punkt er ikke med i domænet for X. Altså har vi hermed vist, at der ikke eksisterer andre fikspunkter de to ovennævnte.

Svar #11
12. september 2005 af Export (Slettet)

#10: Jeg siger mange tak for hjælpen!

Svar #12
12. september 2005 af Export (Slettet)

Naturligvis også tak til dig, Epsilon.

Brugbart svar (0)

Svar #13
12. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#12: Jamen, velbekomme da :-)

Lad mig i øvrigt komme med et alternativ til Haseks fremgangsmåde i #10.

Vi har ligningssystemet

a + b(y^2 - x^2)/(x^2 + y^2)^2 = 0 (*)
-2bxy/(x^2 + y^2)^2 = 0 (**)

Af (**) ses, at så er enten x = 0 eller y = 0; (x,y) = (0,0) er umuligt af den grund, som Hasek nævner.

For x = 0 (y ej 0) giver (*), at

a + b/y^2 = 0 => a = -b/y^2

Men a,b > 0 (ifølge opgaveteksten), så sidstnævnte er umuligt. Altså er y = 0, og af (*) haves

a - b/x^2 = 0 => x = ± sqrt(b/a)

hvilket skulle vises.

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #14
12. september 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#13: Det var jo en noget mere elegant metode, end den jeg brugte! Og så bruger du jo samtidig også, at a og b er positive, så din fremgangsmåde er (klart) at foretrække.

Brugbart svar (0)

Svar #15
12. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#14: Det er da en påskønnelse, som er til at forstå ;-)

Det er reelt også den metode, som jeg forsøgte at lede Export på sporet af i indlæggene #2 og #5.

//Epsilon

Svar #16
13. september 2005 af Export (Slettet)

Nu kom jeg lige pludselig i tvivl: Hvis jeg vil bruge beregningerne i #13, skal jeg så stadig vise (1) i #2?

Brugbart svar (0)

Svar #17
13. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#16:

Det korte svar: ja.

Det lidt længere:
I beregningerne i #13 bliver der argumenteret for, at _hvis_ der er fikspunkter, så må de nærmere bestemt være (-sqrt(b/a),0) og (sqrt(b/a),0).

Hvis man vil være helt stringent, bør man derfor eftervise, at punkterne nu også _er_ fikspunkter. Biimplikationer (<=>) er med vilje undladt i #13.

//Epsilon

Svar #18
13. september 2005 af Export (Slettet)

Okay. Mange tak for forklaringen!

Skriv et svar til: Opgave med vektorfelt

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.