Matematik
Differentiering rækkefølge?
Hey forum!
Jeg skal bestemme lim for x-> uendelig uden brug af lommeregner (maple) af følgende funktion:
x*(ln(x+1) - ln(x)) for x>0
Mit forsøg af en løsning, er at jeg kan se at der er en sum af funktioner ln(...) -ln(x), som kan differentieres hver for sig, men der er også en sammensat funktion ln(x+1) og der er også et produkt af to funktioner x * (...). Jeg forsøgte mig et par timer her idag på at udregne dem i forskellige rækkefølger med kom hele tiden til nogle udtryk som var umulige at forsætte med. Hvilken rækkefølge skal de differentieres i, eller evt. hvordan kommer mellemregningerne til at se ud. En alternativ tanke jeg havde var at ln(a)-ln(b) = ln(a/b) men det gør det ikke lettere for mig at regne. Hvis nogle kan give mig nogle retningslinjer for hvordan jeg griber det an, og evt. mellemregninger så jeg kan se om dem jeg allerede har lavet er helt forkerte.
På forhånd tak
Svar #1
22. september 2012 af Andersen11 (Slettet)
Man kan benytte, at
limn→∞ (1 + (1/n))n = e
idet
x·(ln(x+1) - ln(x)) = ln( (1 + 1/x)x )
Svar #2
22. september 2012 af mathon
x•(ln(x+1) - ln(x)) = x • ( ln((x+1) / x) ) = x • (ln(1+(1/x))
limes x • ( ln(1+(1/∞) ) = ∝ • ln(1) = ∝ • 0 = 0
x->∝
Svar #3
22. september 2012 af Andersen11 (Slettet)
#2
Grænseværdien er 1, jvf #1.
limx→∞(x·(ln(x+1) - ln(x)) = limx→∞ln((1+(1/x))x) = ln(limx→∞(1+(1/x))x) = ln(e) = 1
Svar #4
22. september 2012 af jnl123
f(x)/g(x) = x·ln((x+1)/x) = ln((x+1)/x) / (1/x)
f(x) = ln((x+1)/x)
g(x) = (1/x)
lim [ f(x) ] = lim [ ln((x+1)/x) ] = 0
lim[ g(x) ] = lim [ 1/x ] = 0
lim [ f(x) / g(x) ] = lim [ f(x) ] / lim [ g(x) ] = 0/0 (derfor kan L'Hôpital's regel bruges):
lim [ f(x) / g(x) ] = lim [ f'(x) / g'(x) ] = x/(x+1) -> 1
grænsen er 1
Svar #6
23. september 2012 af Alphatek90 (Slettet)
Jeg er ikke helt sikker på at jeg kan følge forklaringen, i #4 har du startet med at sige at det er division, af det hel emed x, hvorfra kommer den nævner fra og hvad har du gjort i de næste trin? Grænseværdien burde gerne være en, men er bare ikke helt sikker på jeg forstår dine skridt og vil super gerne forstå det, leder ikke bare efter en hurtig løsning (:
- og hvordan kan det være at #3 løser det på en anden måde, uden brug af l'hopital, og der går jeg også lidt tabt i mellemregningerne, det er lidt siden jeg har haft om logaritmer så kan være jeg totalt overser en simpel mellemregning?
Svar #7
23. september 2012 af Andersen11 (Slettet)
#6
Så bør du jo genopfriske regnereglerne for logaritmer. Man har, for x > 0, at
x·(ln(x+1) - ln(x)) = x·ln((x+1)/x)) = x·ln(1 + (1/x)) = ln( (1 + (1/x))x ) , og da
(1 + (1/x))x → e for x → ∞ , ses det, at
ln( (1 + (1/x))x ) → ln(e) = 1 for x → ∞ .
Svar #8
23. september 2012 af Andersen11 (Slettet)
Man kan også gå frem på denne måde:
Vi har
x·(ln(x+1) - ln(x)) = ln((x+1)/x) / (1/x) = ln(1 + (1/x)) / (1/x)
= [ ln(1 + (1/x)) - ln(1) ] / (1/x)
Vi har nu skrevet udtrykket som en differenskvotient for funktionen f(x) = ln(x) ud fra punktet x0 = 1 med tilvækst h = 1/x . At x → ∞ svarer til at h = (1/x) → 0 . Da funktionen f(x) = ln(x) er differentiabel med differentialkvotient
f'(x) = {ln(x))' = 1/x ,
har vi specielt, at
f '(x0) = (ln(x0))' = 1/x0 = 1/1 = 1 ,
og vi ser derfor, at
x·(ln(x+1) - ln(x)) → 1 for x → ∞ .
Svar #9
23. september 2012 af Alphatek90 (Slettet)
Det gav faktisk god mening, at starte med logaritme regnereglerne, selvom jeg ikke helt forstår (1 + (1/x))x → e ledet. Men det andet giver mening. Tak!
Skriv et svar til: Differentiering rækkefølge?
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.