Nogle opgaver

Jeg er helt enig, at det er for meget. Er det en god ide, at jeg opretter en ny tråd for hvert spørgsmål?

1) Se https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1252816

2) skråt kast med v_0x = v₀·cos(30º) , v_0y = -v₀·sin(30º) = -v₀/2 , y(0) = 170m , x(0) = 0m, v₀ = 40m/s , så

x(t) = v₀·cos(30º)·t

y(t) = -(1/2)·g·t² -(v₀/2)·t + y(0) ,

y(t₀) = 0 ⇒ t₀ = 4,19s , så v_x(t₀) = v₀·cos(30º) , v_y(t₀) = -(g·t₀+v₀/2)

             ⇒ tan(α) = (g·t₀+v₀/2) / (v₀·(√3)/2) ⇒ α = 60,47º .

3)

Benyt, at

x(t) = v₀·cos(θ)·t

y(t) = -(1/2)·g·t² + v₀·sin(θ)·t

Projektilet lander, når y(t) = 0 . Det når sin største højde, hvor y '(t) = 0 .

4)

Her har man (da "straight upward" medfører bevægelse i lodret retning alene),

y(t) = -(1/2)·g·t² + v·t + h , (v > 0)

og man skal så løse ligningen y(t) = 0 og udvælge den positive rod , dvs

d = v² + 2gh ,

og dermed

t = (-v - √(v² + 2gh))/(-g) = (v/g) + (v/g)·√(1 + 2gh/v²)

#3

Havde overhovedet ikke tænkt på at finde vinklen på en lettere måde, hvor

tan(α) = v_y(4.19)/v_x(4.19) ⇒ α ≈ -60.43º (dvs. 60.43 grader fra negative x-retning i 2. kvadrant)

#4

Vil de begge to hastighed ved skuddet også være ens? Jeg ved, at bolden, der skyder op ved vinklen 60 grader vil vare længere end med vinklen 30 grader - når de lander ved samme punkt.

#5

Forstået. (føler mig ret dum >.<)

#6

Til 3) . Jeg gik ud fra, at projektilet afskydes med samme begyndelsesfart v₀ . Af

x(t) = v₀·cos(θ)·t

y(t) = -(1/2)·g·t² + v₀·sin(θ)·t

har vi så

y(t₁) = 0 ⇒ t₁ = 0 ∨ t₁ =  2v₀·sin(θ) / g , (hvor vi bortkaster t₁ = 0), og dermed

x(t₁) = (v₀²/g)·sin(2θ) .

Det ses heraf, da sin(2·30º) = sin(2·60º), at x(t₁) er ens for de to vinkler θ = 30º og θ = 60º .

Den maksimale højde opnås, hvor y '(t₀) = 0 , dvs for -gt₀ + v₀·sin(θ) = 0 , dvs for t₀ = v₀·sin(θ) / g , hvor vi får

y(t₀) = -(1/2)·g·t₀² + v₀·sin(θ)·t₀ = -(1/2)·g·(v₀·sin(θ)/g)² + v₀·sin(θ)·v₀·sin(θ)/g

       = (1/2)·(v₀²/g)·sin²(θ)

Vi har nu, at sin²(60º) / sin²(30º) = ((√3)/2)² / (1/2)² = 3 , hvoraf det ses, at projektilet kommer 3 gange så højt op ved θ = 60º som ved θ = 30º .

#7

Det er en rigtig god forklaring, du kom med Torben. Lige nu tænker jeg på noget inden jeg læser videre om Newtons love; hvordan det kan være, at afstanden vil være lige, når vinkler er forskellige? Er der nogen 'regel' indenfor trigonometrien? (Altså sin(2θ) = sin(2·30) = sin(2·60))

Hvis vi antager, at vinklen skulle være 40 grader istedet for 30 grader, hvad vil den nye vinkel så være, når højden er tre gange så meget? Hvis jeg følger din fremgangs måde, så mener jeg at

sin²(θº) / sin²(40º) = 3   så isolerer jeg vinklen θ

sin²(θº) = 3·sin²(40º)

sin(θº) = ±√(3·sin²(40º))

osv. Er det korrekt? Nej, det er forkert, idet sin(θº) skal være i interval mellem -1 til 1.

#8

Jeg kan ikke helt følge, hvor du vil hen.

Hvis man vil undersøge, for hvilke sæt af vinkler at den vandrette afstand bliver den samme, skal man vælge et θ₁ og så løse ligningen (se #7)

sin(2θ₂) = sin(2θ₁) .

Der gælder selvfølgelig enten 2θ₂ = 2θ₁ , eller 2θ₂ = π - 2θ₁ , og det er den sidste, ikke-trivielle ligning, der er interessant her:

θ₂ = (π/2) - θ₁ .

De to vinkler θ₁ og θ₂ er altså komplementvinkler.

Hvis man vil undersøge, for hvilke sæt af vinkler at den lodrette højde for den ene er 3 gange højden for den anden, skal man løse ligningen

sin²(θ₂) = 3·sin²(θ₁) .

Det er klart, at der skal gælde sin(θ₁) ≤ 1/√3 , dvs θ₁ ≤ 35,26º .

Hvis man ønsker begge betingelser opfyldt, skal der så gælde

cos²(θ₁) = 3·sin²(θ₁) ,

dvs sin(θ₁) = 1/2, eller θ₁ = π/6 = 30º , og dermed θ₂ = π/3 = 60º .

#9

Altså, jeg prøver at ændre på en ny vinkel istedet for 30 grader. (Jeg vil gerne teste det for at forstå bedre)

Hvor kommer det her fra,

"Det er klart, at der skal gælde sin(θ₁) ≤ 1/√3, dvs θ₁ ≤ 35,26º" ?

Jeg gættede på, at det skulle fx være θ₁ = 40, men det kan det ikke være muligt, idet det skal være mindre, altså θ₁ ≤ 35,26º. Så, hvordan har du fundet frem til det?

Det samme med

"cos²(θ₁) = 3·sin²(θ₁)"

#10

Der skal jo gælde, at sin(θ₂) ≤ 1 , hvorfor 3·sin²(θ₁) ≤ 1 og dermed sin(θ₁) ≤ 1/√3 .

Hvis man ønsker både

sin²(θ₂) = 3·sin²(θ₁)

og

sin(2θ₂) = sin(2θ₁)

opfyldt, skal der af den sidste gælde θ₂ = (π/2) - θ₁ , og deraf ses jo, at

sin(θ₂) = sin((π/2) - θ₁) = cos(θ₁) ,

hvorfor der skal gælde

cos²(θ₁) = 3·sin²(θ₁) ,

eller

1 - sin²(θ₁) = 3·sin²(θ₁) ,

eller

sin²(θ₁) = 1/4, og dermed

sin(θ₁) = 1/2 ,

da vi kun betragter vinkler i intervallet [0;π/2] .

#11

(Du er for hurtig til at svare på! Godt og veldetaljeret!)

Så er sagen opklaret! Tusind tak for de store hjælp!