Matematik
Differentiabel funktion
Hej, kan I tjekke om dette er korrekt? (hvad er evt. forkert, og har jeg det hele med?) Tak :)
En funktion
f(x)
er differentiabel i
x0
, hvis differenskvotienten
f(x0+Δx) - f(x0)
----------------------------
Δx
har en grænseværdi for
Δx→0
. Hvis grænseværdien eksisterer, kaldes denne grænseværdi for differentialkvotienten af
f(x)
i
x0
, og den betegnes med
f '(x0)
.
Differenskvotienten kan også fortolkes som hældningskoefficienten for sekanten gennem de to punkter
(x0,f(x0)
og
((x0+Δx),(f(x0+Δx))
på grafen for funktionen
f
. Når
Δx→0
, svarer det geometrisk til, at sekanten går mod tangenten til grafen for
f(x)
i punktet
(x0,f(x0))
.
Ydermere er funktionen
f
differentiabel i et punkt
x0
, hvis grafen for
f
har en tangent i
x = x0
.
Funktionen skal også være kontinuert i
x0
. Den er kontinuert hvis:
1)
f(x)→f(x0)
for
x → x0 (Δx→0) ∀x∈Dm(f)
2)
f
er defineret i et interval omkring
x0
, ellers vil det ikke være muligt at snakke grænseværdier.
Dvs. hvis funktionen er kontinuert i et punkt, så er den også differentiabel i det punkt.
Der gælder ikke: Hvis funktionen er differentiabel i et punkt, så er den kontinuert.
Svar #1
29. oktober 2012 af LLLLLLLLLLLLLLLL
eller se denne vedhæftning, hvor det står lidt tættere og bedre
Ville være meget glad for hjælp
Svar #3
29. oktober 2012 af nielsenHTX
skemede det kun, men det ser fint ud dog er de sidste to linjer er forkerte.
Hvis en funktion er differentiabel så er den også kontinuert.
men hvis den er kontinuert er den ikke nødvendigvis differentiabel.
Svar #4
29. oktober 2012 af LLLLLLLLLLLLLLLL
Tak, men er resten korrekt? :)
- Der er ikke mere til det? Jeg vil nemlig gerne bruge det i forbindelse med den mundtlige eksamen..
Svar #5
29. oktober 2012 af nielsenHTX
#4 det ser fint ud.
hvis der er tid efter det kan du jo komme med et eksempel / vise en regneregel
Svar #6
29. oktober 2012 af LLLLLLLLLLLLLLLL
ja det er bare min indledning til differentialregning :) Der er forskellige emner, herunder regneregler, tangentbestemmelse m.m. :)
Men hvis du er 100% sikker på, at det er godt, så er jeg også tilfreds! :)
- Der er altså ikke mere relevant, der skal siges til enten kontinuitet eller differentiabilitet?
tak
Svar #7
29. oktober 2012 af peter lind
Hvis f'(x) er differentiabel i x0 er f(x) også kontinuert i x0
Som nævnt i #3 er en funktion, som er kontinuert i x0 ikke nødvendigvis differentiabel i x0. Et simpel eksempel |x| er kontinuert for alle x; men ikke differentiabel i 0. Matematikerne har konstrueret funktioner, der er kontinuert for alle værdier af x og som ikke er differentiabel i noget punkt.
Svar #8
29. oktober 2012 af Andersen11 (Slettet)
(På opfordring).
#0
Det er helt korrekt, hvad svarerne i #3 og #7 skriver, at dine to sidste sætninger ikke er korrekte. Differentiabilitet medfører kontinuitet, men det omvendte er ikke tilfældet.
Det lyder dog lidt bagvendt at skrive, som du skriver:
"Ydermere er funktionen f differentiabel i et punkt x0 , hvis grafen for f har en tangent i x = x0 ."
Hvis en funktion er differentiabel, kan man benytte den geometriske fortolkning via sekanter til at definere grafens tangent som sekanternes grænsestilling. Men det kan man jo ikke vende rundt uden at skulle komme med en alternativ definiton for en tangent.
Ellers, se https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1257315
Svar #9
29. oktober 2012 af LLLLLLLLLLLLLLLL
Hej,
hvorfor skal jeg se dit link #8 ?
Der står vel det samme, som jeg har skrevet?
Svar #10
29. oktober 2012 af Andersen11 (Slettet)
#9
Hvorfor tror du det? Ja, det minder en del om det, du har skrevet. Jeg tænkte, at det ikke kunne skade at se det samme emne i lidt andet lys.
Skriv et svar til: Differentiabel funktion
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.