Matematik - hjælp

Her er opgaven

a) Skæringspunkterne med akserne finder man ved at sætte x = 0 og løse for y, og ved at sætte y = 0 og løse for x.

b) Beregn y'(x) ud fra den implicit bestemte funktion og beregn så y'(x) i de to punkter. Vis, at de to værdier er lige store.

Hvor langt er du selv kommet med den?

a. skæring med x aksen sker for y = 0, skæring med y aksen sker får x =0. Løsningerne kan iøvrigt aflæses af grafen.

b. Foretag en implicit differentiation af ligningen og indsæt de givne punkter. Det giver  ligninger til bestemmelse af y' Vis at løsningen til de 2 fremkomne ligninger giver identisk resultat

Umiddelbart skulle jeg mene, at:

Skæring med x-aksen betyder y = 0

Skæring med y-aksen betyder x = 0

Det er nok mest opgave a, som jeg ikke helt ved hvordan den skal løses....

Forstå ikke helt det Peter Valberg skriver 

#6

Spm a) er forklaret i #1, #3, og #4.

Kurven er beskrevet ved ligningen y⁴ = y² - x² , og man skal bestemme kurvens skæringspunkter med de to akser.

For punkter på x-aksen har man y = 0. Indsætter man y = 0 i kurvens ligning, har man -x² = 0, dvs x = 0. Punktet (0,0) er derfor det eneste skæringspunkt med x-aksen.

For punkter på y-aksen har man x = 0. Indsætter man x = 0 i kurvens ligning, har man y⁴ = y² , dvs

y²(y² -1) = 0 , dvs

y²(y+1)(y-1) = 0

Kurven har derfor tre skæringspunkter med y-aksen, nemlig (0,-1) , (0,0), og (0,1).

Er du med på den implicitte bestemmelse af y' ?

Du skal differentiere udtrykket: y⁴ = y² - x² m.h.t. x for at kunne isolere og bestemme y': 

(y⁴)' = (y²)' - 2x ⇒4y³y' = 2yy' -2x ⇔ (2y³ - y)y' = -x ⇔ y' = -x/(2y³ - y).

Indsæt nu koordinaterne (x,y) for punkt A og B i udtrykket.

Idet A- og B-koordinaterne er de samme pånær fortegn [ A = -B ] ses umiddelbart, at

y' i A = y' i B