Matematik
2. ordens differentialligning
Hvordan løser man en 2. orden differentialligning ved håndkraft?
Jeg har y´´+4y´+3y=0 og y(0)=4 samt y(1)= (e2+3)/e3
Svar #1
18. december 2012 af Andersen11 (Slettet)
Start med at løse den karaktertistiske ligning
r2 + 4r + 3 = 0 , dvs
(r+1)(r+3) = 0
Hvis der er to forskellige rødder i den karakteristiske ligning, er den fuldstændige løsning så
y = c1·er1x + c2·er2x ,
hvor r1 og r2 er de to rødder. Benyt begyndelsesbetingelserne til at bestemme c1 og c2.
Svar #3
19. december 2012 af SuneChr
Det er den homogene lineære anden ordens differentialligning med konstante koefficienter.
Der må da være en model i lærebogen for løsningen af en sådan ligning.
hvor
er rødderne i ligningen a = 4 b = 3
Svar #4
19. december 2012 af Andersen11 (Slettet)
#2
Løs 2.-gradsligningen, den karakteristiske ligning.
Svar #5
19. december 2012 af Merdakdak (Slettet)
Ah i see now. Men hvad gør jeg så nu? Forstår ikke hvad du mener med begyndelsebetingelserne?
Svar #6
19. december 2012 af Andersen11 (Slettet)
#5
Begyndelsesbetingelserne er betingelserne y(0) = 4, og y(1) = (e2+3)/e3 som skal være opfyldt for den specifikke løsning.
Svar #7
19. december 2012 af Merdakdak (Slettet)
Så f(x1)=e^(r1*x)
4=e^(r1*0) det kan da ikke helt passe
Svar #8
19. december 2012 af Andersen11 (Slettet)
#7
Nej, det er misforstået. Læs #1 igen. Den generelle løsning er
y = c1·e-x + c2·e-3x
Konstanterne c1 og c2 fastlægges så ud fra begyndelsesbetingelserne
c1 + c2 = 4
c1·e-1 + c2·e-3 = (e2+3)/e3
Løs nu dette ligningssystem i c1 og c2 .
Svar #10
19. december 2012 af Andersen11 (Slettet)
#9
Løs ligningssystemet. Der er tale om to ligninger med de to ubekendte c1 og c2 .
Man ser jo, at
c1-1 = 3 - c2 , og
(c1-1)·e2 = 3 - c2 ,
hvoraf man umiddelbart aflæser løsningen.
Svar #11
19. december 2012 af Merdakdak (Slettet)
Okay men fortår altså ikke hvor du får
c1-1 = 3 - c2 , og
(c1-1)·e2 = 3 - c2 fra???
Svar #13
19. december 2012 af SuneChr
Isolér c1 i (I) og indsæt (4 - c2) i (II)
Med en hel kæde af forkortelser af potenser af e, ender vi med c1 = 1 og c2 = 3
Svar #14
19. december 2012 af Merdakdak (Slettet)
Okay, det havde jeg godt tænkt, men kan simpelthen ikke få det til at gå op med alle de eér
Svar #15
19. december 2012 af Andersen11 (Slettet)
#11
Man har de to betingelsesligninger
c1 + c2 = 4
c1·e-1 + c2·e-3 = (e2+3)/e3
Træk 1 fra på hver side og flyt c2 over på højre side i den første ligning:
c1 - 1 = 3 - c2
Gang den 2. ligning med e3 :
c1·e2 + c2 = e2 + 3 .
Træk e2 fra på hver side og flyt c2 over på højre side:
(c1 - 1)·e2 = 3 - c2
De to ligninger kan kun begge være opfyldt, hvis både c1 - 1 = 0 og 3 - c2 = 0 .
Svar #16
19. december 2012 af Merdakdak (Slettet)
Synes ikke helt at i har samme måde at løse den på?
Svar #17
19. december 2012 af SuneChr
# 16 Mangfoldighed er en god ting, især hvis man ender med samme resultat.
Svar #18
19. december 2012 af Merdakdak (Slettet)
Okay. Skal man gøre det samme hvis man i stedet for at have to y har én y´og en y?
Svar #19
19. december 2012 af Andersen11 (Slettet)
#18
Man skal så indsætte begyndelsesbetingelserne i de korrekte forskrifter. Det bliver et andet sæt ligninger, hvis man har en betingelse for y og en betingelse for y'. Man skal i dette nye tilfælde differentiere den generelle løsning og indsætte betingelsen, der vedrører y' .
Svar #20
19. december 2012 af Merdakdak (Slettet)
Det forstår jeg ikke helt.
Jeg har
y´´+5y´+6y=0
og y(0)=2 samt (y´(0)=4
Jeg kan da ikke differentiere den?