Geometri problem!

Beregn længderne L1 = |AB| og L2 = |BC|; punkternes koordinater er givet.

Cirklens centrum P ligger på vinkelhalveringslinien for vinkel ABC, i afstanden r = 500m fra både L1 og L2 . Cirkelbuens centervinkel kan beregnes som 2 gange vinkel T1PB, der er vinkel i en retvinklet trekant.

L1 og L2 har jeg beregnet. Men kan ikke komme videre derfra? 

#2

Man kan let opstille ligningerne for de to linier, der indeholder liniestykkerne L₁, hhv. L₂. Cirkelbuens centervinkel α er vinklen mellem de to liniers normalvektorer. Længden af cirklebuen T₁T₂ er da

|^_∪T₁T₂| = 2πr·α/360º ,

hvor r = 500m er cirkelbuens radius.

Tak. Men vi kender jo ikke noget til T1 og T2 ?

Det rigtigt. Jeg så også formlen på wiki for cirkelbuen. Hertil er det en længde L de benytter. 

#4

Som nævnt er centervinklen lig med vinklen mellem de to liniestykkers normalvektorer; disse vektorer kan let beregnes ud fra de koordinaterne for de tre kendte punkter A, B og C. Cirklens omkreds 2πr ganges så med den brøkdel α/360º , som centervinklen udgør af hele cirkelperiferien. Cirklens radius er kendt. Derfor kan cirklebuens længde beregnes som anført i #3.

Dvs. |∪T1T2| = 2πr·α/360º => 2πr·360º/360º ? 
Da den udgør hele cirkelperiferien, som du siger ? 

#6

Nej, cirkelbuen fra T₁ til T₂ udgør da ikke hele periferien af cirklen. Vinklen α er cirkelbuens centervinkel, dvs vinklen mellem normalen i T₁ og normalen i T₂. De to normaler mødes i cirklens centrum, som jeg kaldte P i #1. Vinklen α er også vinklen T₁PT₂ .

Okay. Hvis nu jeg forstår det korrekt. Så deles vinkel α ? Da vinkelhalveringslinje går lig igennem ?

#8

Jo, det er da korrekt at linien BP deler centervinklen α i to lige store dele. Men den oplysning er ikke nødvendig for at beregne α .

Jeg er virkelig forvirret. Det er jeg skal beregne er cirkelbuen. 

Inde på wiki og som du siger så bregnes cirkelbuen på følgende måde:

L = 2πr·α/360º ! 

Hertil mangler jeg ikke andet end α ? Er det ikke sandt ? 

Og α har jeg, men eftersom at T1 til P er kun halvdelen af vinklen α, vil denne deles og hertil anvendes som alfa ?

#10

Ja, det er korrekt. Jeg har også tidligere forklaret, at α er vinklen mellem de to liniestykkers normalvektorer. Liniestykkernes normalvektorer kan aflæses af de to ligninger for linierne, der indeholder liniestykkerne.

Det er her forstår jeg ikke helt: "Liniestykkernes normalvektorer kan aflæses af de to ligninger for linierne, der indeholder liniestykkerne" 

- L = 2πr·α/360º --> L = 2πr·1/2 ? Også er cirkelbuen fundet ?

#12

Man skal først beregne størrelsen af vinklen α. Vinklen α er, som tidligere forklaret, vinklen mellem de to liniestykkers normalvektorer.

L₁ er linien gennem punkterne A og B , og L₂ er linien gennem punkterne B og C.

Opstil de to liniers ligninger, aflæs en normalvektor n₁ og n₂ for de to linier, og beregn så vinklen α mellem de to normalvektorer n₁ og n₂ , ved

cos(α) = n₁•n₂ / (|n₁||n₂|)

Du må undskylde, men jeg har virkelig svært ved at forstå det. 

- Lig nu skal der opstilles to ligninger til linjerne L1 og L2, hvor de kan bruges som normalvektore ? 

- Hvordan vil du opstille to ligninger op ? Da det skal være i tal for at beregne vinklen ?

Nogen der kan hjælpe ?

#14

Opstil ligningen for linien, der går gennem de to punkter A og B (linien L₁), og for linien, der går gennem de to punkter B og C (linien L₂).

Af ligningen  ax + by + c = 0 for en ret linie aflæser man, at [a;b] er en normalvektor for den rette linie.

De to ligninger giver derfor de to liniers normalvektorer n₁ og n₂ , og man bestemmer så den ønskede vinkel α som vinklen mellem de to vektorer n₁ og n₂ .

Du kalder dit niveau for "Videregående", hvilket betyder universitetsniveau. Opgaverne går ikke ud over, hvad der kendes på gymnasialt niveau.

Tak for du siger jeg er dum. Det er vel også, hvis jeg har glemt mit det har jeg har lært.

- Sidste spørgsmål til dig. Hvordan får jeg ligningen dannet ? så jeg får de to normalvektore ?

#17

Bestem ligningen y = ax + b for en linie, der går gennem to kendte punkter. Bestem liniens hældningskoefficient a ud fra de to punkter, og benyt så et af punkterne til at bestemme b.

Vil du give et ledetråd til spørgsmål ? 
 

#19

Ledetråd?? Måske er det bedst, hvis du repeterer en række afsnit i dit pensum. Du har vel lært om rette linier, deres ligninger, bestemmelse af hældningskoefficient osv?