Matematik
Punktmængdens areal...
1) Graferne for f(x) = 5-x^2 og g(x) = 4/x afgrænser en punktmængde. Beregn denne punktmængdes areal. Desuden skal x > 0.
Jeg har fundet de to funktioners skærings punker, hvilket bruges som grænse. De er henholdvis 1,56 og 1.
Men hvad skal jeg nu. Skal jeg sætte f(x) lig med g(x), så jeg får 5x - x^3 - 4, eller hvad er fremgangsmåden?
2) Linjen med ligningen y = kx, k
Da kx = x^2, må k være lig x. Men hvordan kommer jeg videre med opgaven?
Håber I vil hjælpe!
Svar #2
28. september 2005 af fixer (Slettet)
Punktmængden er den der ligger mellem de to grafer. Arealet af denne punktmængde må således være differensen mellem arealet under grafen for f og arealet under grafen for g i det betragted interval. Det må jo kunne beregnes som
A = A1-A2
hvor
b
S[f(x)]dx = A1
a
b
S[g(x)]dx = A2
a
Spm 2:
k er en reel konstant og kan ikke være lig den variable x. y=x^2 er jo heller ikke forskriften for en ret linie.
Fremgangsmåden er præcist som i første opgave.
Bestem først afgrænsningerne på x-aksen af punktmængden. Princippet er det samme som ovenfor. Man skal bestemme skæringspunkterne mellem parablen med ligningen y=x^2 er familien af rette linier med ligningen y=kx.
Arealet af punktmængden findes som ovenfor som differensen mellem arealerne under graferne indenfor det betragtede interval.
Dette giver anledning til en ligning i k. Løs den således at arealet bliver lig 4/3.
Svar #3
28. september 2005 af Ole_chr (Slettet)
1,56 (b) b
S(5 - x^2 - 4/x) <=> 4S(5 - x^2 - 1/x)
1 (a) a
b
= 4[5x - (1/3)x^3 - ln|x|]
a
b
= [20x - (4/3)x^3 - ln|x|]
a
= (20*1,56 - (4/3)*1,56^3 - ln|3|) - (20*1 - (4/3)*1^3 - ln|3|) = 7,49
Dette resultat passer næppe!!
Svar #4
28. september 2005 af Ole_chr (Slettet)
Svar #5
28. september 2005 af Ole_chr (Slettet)
Svar #6
28. september 2005 af fixer (Slettet)
b
S[5-x^2-4/x]dx
a
og du kan ikke med nogen nævneværdig fordel sætte 4 udenfor (hvilket du iøvrigt har gjort forkert).
Hvad du skal gøre med 4/x; det skal såmænd bare integreres. Du kender vel en stamfunktion til h(x)=1/x, så 4/x skulle være lige til at gå ombord i-
Svar #7
28. september 2005 af Ole_chr (Slettet)
Jeg mangler dog stadigvæk hjælpe til 2eren...
Svar #8
28. september 2005 af Ole_chr (Slettet)
Svar #9
28. september 2005 af natalia (Slettet)
Svar #10
28. september 2005 af Ole_chr (Slettet)
Svar #12
28. september 2005 af Ole_chr (Slettet)
#2 - kan du ikke prøve at skrive det - kan være at det hjælper... :(
Svar #13
28. september 2005 af fixer (Slettet)
f(x) = g(x) <=>
x^2 = kx <=>
?
find løsningsmængden (pas på med bare at dividere x bort). Det er x-koordinaten for de søgte skæringspunkter.
Har du tegnet punktmængden ? Det kan være en stor hjælp.
Svar #14
28. september 2005 af Ole_chr (Slettet)
f(x) = g(x) <=>
x^2 = kx <=>
x^2 - kx = 0
Denne løser jeg som en 2. gradsligning og får rødderne 0 og 1.
Så integrerer jeg... eller...
Svar #15
10. november 2012 af Cphjajaja (Slettet)
Opg 2 kan løses på denne simple måde;
kx = x^2 er sandt når x-værdien er lig værdien af konstanten (for enhver værdi af k), samt når x = 0. Altså mødes de to funktioner i punkterne (0,0) og (k,0).
Nu har vi så dét interval indenfor hvilket funktionerne skal integreres.
Følgende ligning kan således løses med hensyn til k (fx med ti89 eller lign):
k k
( S (k*x)dx ) - ( S (x^2)dx) = -4/3
0 0
Jeg skriver -4/3 da vi ved at arealet ligger på 2. kvadrant, og altså vil give et negativt resultat.
Svar #16
10. november 2012 af Andersen11 (Slettet)
#15
Det er ikke korrekt, at de to grafer skærer hinanden i (k,0).
Det er korrekt, at man for at finde skæringspunkterne mellem funktionernes grafer skal løse ligningen
k·x = x2 , dvs
x·(x - k) = 0 ,
med løsningerne
x = 0 ∨ x = k.
Skæringspunkterne er derfor (0,0) og (k , k2) . Det er oplyst, at k < 0 . På intervallet [k,0] gælder der,
at x2 ≤ kx . Arealet af den søgte punktmængde er derfor
A = k∫0 (kx - x2) dx = [k·x2/2 - x3/3]0k = k3/3 - k3/2 = -k3/6 .
Man skal derfor løse ligningen
-k3/6 = 4/3 , dvs.
k3 = -8 = (-2)3 , eller
k = -2 .
Svar #17
10. november 2012 af Cphjajaja (Slettet)
ups, "(k,0)" var ret uopmærksomt af mig.
k k
( S (k*x)dx ) - ( S (x^2)dx) = -4/3
0 0
giver jo samme resultat, men tak for rettelsen mht. rækkefølgen på k og 0.
Svar #18
10. november 2012 af Andersen11 (Slettet)
#17
Prøv at bruge symbolerne i Ω-boksen til at gøre det lettere at læse. Du beregner minus arealet i stedet for arealet selv.
Svar #19
10. november 2012 af Cphjajaja (Slettet)
ja, det er ikke så elegant at beregne minusarealet, og jeg vil ikke forsvare det. Jeg mente bare at det jo ikke gør nogen forskel mht. isolation af k. k = -2. Men tak for uddybning, jeg sætter stor pris på det.
Skriv et svar til: Punktmængdens areal...
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.