Matematik
definition af cos og sin
Normalt når man definerer en funktion i matematik, gør man det gennem algebra. F.eks. afbildning f: x->x2. Der kan man vise med udelukkende algebraiske metoder, at funktionen f.eks. er bijektiv, at den er veldefineret for alle tal osv.
Men med cosinus og sinus, synes jeg det virker lidt anderledes. For de defineres jo geometrisk gennem en enhedscirkel, og i sidste ende "aflæsning" af et koordinat. Hvordan kan man med denne definition vide, at det er meningsfuldt at definere funktionen for ethvert tal, at dens afledede eksisterer og alle de kendte ting, som kendetegner matematisk analyse. Det virker bare sådan lidt mærkeligt, at man skulle kunne bevise dette ved at henvise til, hvad der i sidste ende bare er en tegning.
Jeg ved ikke om det er et dumt spørgsmål, men nu fik I det.
Svar #1
05. februar 2013 af peter lind
Det skyldes jo at funktionerne bruges i geometriske sammenhænge. Når man har studeret disse funktioner dukker der beregningsmetoder op, så man meget kontant kan beregne, hvad funktionsværdierne er
Svar #2
05. februar 2013 af Andersen11 (Slettet)
Tegningen bruges som illustration, ikke som den egentlige definition. Den egentlige definition er, at punktet på enhedscirklen, der har retningsvinkel x, har koordinaterne (cos(x) , sin(x)).
Der er andre måder at definere funktionerne cos(x) og sin(x) på.
De kan for eksempel defineres ud fra eksponentialfunktionen og Eulers formel som
cos(x) + i·sin(x) = eix , x reel.
dvs. som hhv. real- og imaginærdelen af eix hvor x er reel.
Eller de kan defineres som de to partikulære løsninger til differentialligningen
y''(x) = -y(x)
med begyndelsesbetingelserne
y(0) = 1, y'(0) = 0 (for cos(x)), hhv.
y(0) = 0, y'(0) = 1 (for sin(x)).
Svar #3
05. februar 2013 af aaaa202 (Slettet)
men giver den geometriske definition ikke problemer ifht. at bevise sådan noget som differentialkvotienten for dem? Med enhver anden funktion indsættes jo definitionen på differentialkvotienten i det konkrete udtryk, og så kan man undersøge grænserne derfra. Det samme ser ikke ud til at gælde med cosinus og sinus. Hvordan skulle man kunne undersøge grænseværdien:
sin(x+dx)-sin(x)/dx i grænsen hvor dx bliver uendelig lille med en geometrisk definition som ovenstående?
Svar #4
05. februar 2013 af peter lind
Det gøres jo normalt også ud fra geometriske betragtninger. Man finder nogle grænser mellem hvilket differenskvotienten må ligge og lader derefter h gå mod 0
Svar #5
05. februar 2013 af aaaa202 (Slettet)
så der er i princippet ikke noget specielt ved sinus og cosinus? Altså sagt på den måde, at jeg kunne definere en vilkårlig afbildning T, som tog x og y koordinaten alt efter hvor langt jeg havde gået langs en vilkårlig geometrisk figur. Der kunne så etableres sætninger for dennne afbildnings x- og y-koordinat (ligesom cosinus og sinus) og man kunne undersøge om dens differentialkvotient eksisterede osv. Ville man kunne det?
Svar #6
05. februar 2013 af Andersen11 (Slettet)
#5
Det kunne man i princippet godt. Funktionerne vil kun hænge sammen med cos(t) og sin(t), hvis figuren er enhedscirklen.
Skriv et svar til: definition af cos og sin
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.