Lastbil op ad bakke

Husk at tyngdekraften er en konservativ kraft. Det arbejde, den udfører, afhænger udelukkende af begyndeles- og sluttilstanden, ikke af vejen imellem dem.

Forestiller vi os at der ikke havde været friktion, ville opgaven således kunne løses ved at indlægge et passende nulpunkt for den potentielle energi, og dernæst udtrykke

E_mek(A) - E_mek(B) = 0

eller

(E_kin(A)+E_pot(A))-(E_kin(B)+E_pot(B)) = 0

hvor A og B er begyndelses- og sluttilstand (men ikke nødvendigvis i den rækkefølge).

Det er helt ligegyldigt at tyngdekraften kan projiceres ind på bakken.

Virker der tillige ikke-konservative kræfter F_ik bliver energiregnskabet i stedet

(E_kin(A)+E_pot(A))-(E_kin(B)+E_pot(B)) = -W_ik(AB)

Her er W_ik(AB) det arbejde, de ikke konservative kræfter F_ik udfører på vejen fra A til B. De ikke-konservative kræfter er ofte gnidningskræfter, der har modsat retning af vejen, dvs W_ik(AB)

Lægges nulpunktet for den potentielle energi i niveau med bakkens fod fås altså

½mv^2 + 0 - (0+mgh) = -F_ik*s

hvor F_ik er gnidningskraften

F_ik = -uN

N normalkraften. Så er det blot at udtrykke den geometriske sammenhæng mellem højden h og strækningen s op ad bakken, samt beregne N.

Tyngdekraftens arbejde skal netop ikke indgå i A; A er alene arbejdet udført af den non-konservative, bremsende friktionskraft, som virker mellem dæk og vejbane. Tyngdekraften er den konservative kraft, som giver anledning til 'potentiel energi i tyngdefeltet' (gravitationel, potentiel energi). Som bekendt ækvivalerer tyngdekraftens arbejde tilvæksten i potentiel energi med modsat fortegn:

A_g = - delta U = - mg(y-y0)

hvor y-y0 er den tilbagelagte vertikale strækning over hvilken, tyngdekraften udfører arbejdet A_g. Vælges foden af bakken (y0 = 0) som nulpunkt for regning med potentiel energi, har vi således

U = mgy

Energiregnskabet tager sig i sin allersimpleste form således ud:

delta E = A (*)

Tilvæksten i systemets energi er lig de ydre kræfters arbejde på systemet. I dette tilfælde er

A = A_f = -(F_f)x (**)

netop friktionskraftens arbejde over strækningen x (langs bakken); F_f er størrelsen af den konstante friktionskraft. Lad '1' hhv. '2' betegne hhv. start- og sluttilstand; da giver (*) og (**), at

U_2 - K_1 = A_f (***)

thi U_1 = K_2 = 0.

På nær en fortegnsfejl i dit indlæg svarer (***) til den ligning, du kom frem til.

Distancen x kan bestemmes af (***) via en kraftanalyse og simpel trigonometri.

//Epsilon

Tak for de hurtige og gode svar :)

Det vil sige at følgende er rigtigt?

mgh - ½mv^2 = -F(fr) * x <=>

mg*sin6*x - ½mv^2 = - u*mg*cos6*x <=>

x = v^2 / (2gsin6 + 2ugcos6) <=>

x = 124.2 m

#3:
Korrekt; men anvend kun biimplikationer mellem formelle udsagn. Anvend _aldrig_ biimplikationer, når der indgår afrundinger af nogen som helst art.

Man kunne eksempelvis skrive som følger:

mgh - (1/2)mv^2 = -F(fr)*x <=>

mg*sin(ß)*x - (1/2)mv^2 = -µ*mg*cos(ß)*x <=>

(2gsin(ß) + 2gµ*cos(ß))*x = v^2 <=>

x = v^2 /(2gsin(ß) + 2µg*cos(ß))

Indsættes heri de oplyste værdier samt g = 9,82m/s^2, ser vi, at den tilbagelagte afstand op ad bakken er

x = 124,165...m ~ 0,1km

Bemærk: man respekterer normalt laveste nøjagtighed blandt de givne oplysninger (her: 1 betydende ciffer) ved angivelse af facit.

Ved på denne måde først at anføre det beregnede resultat og dernæst foretage afrunding, er det fuldstændig klart, hvad der ligger til grund for det angivne facit.

//Epsilon

Ok, og endnu en gang tak for hjælpen :)