Matematik

Funktioner

30. september 2005 af john vs. jon (Slettet)

Lufttrykket er en funktion f af højden x over havoverfladen. For denne funktioen gælder ligningen:

f'(x)+a*f(x)=0, hvor a er en konstant.

Bestem en forskrift for f, når det oplyses, at luftrykket ved havoverfladen er 1000 millibar, og at lufttrykket halveres, når højden over havoverfladen øges med 5,54km.

- har en lille idé der hedder separation af de variable, kan bare ikke helt få skubbet det ud in real life
…lidt hjælp..???

Brugbart svar (0)

Svar #1
01. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)

Separation af variable er en mulighed, ja. Men ellers er det såmænd også tilladt at omskrive differentialligningen til en form, som umiddelbart identificeres som velkendt forstået på den måde, at man direkte kan henvise til den generelle løsning og derfor blot behøver at aflæse og bestemme de relevante konstanter ud fra opgavetekstens oplysninger.

//Epsilon

Svar #2
01. oktober 2005 af john vs. jon (Slettet)

hvis så jeg siger: f(x)=e^k*e^ax ??

Brugbart svar (0)

Svar #3
01. oktober 2005 af fixer (Slettet)

Prøv at differentiere udtrykket og du vil se at differentialligningen ikke er opfyldt grundet en fortegnsfejl. Iøvrigt kan konstanten e^k blot erstattes af C, en anden konstant.

Som fremhævet i #1 bør følgende ligning og dens løsninger være velkendte:

y' = -ay

Svar #4
01. oktober 2005 af john vs. jon (Slettet)

ja okay.. så bliver det:

f(x)=-ce^ax

så har jeg fået en lille idé, at man via halveringskonstanten kan finde a og der efter finde c ved at indsætte punktet, hvad siger I?

Brugbart svar (0)

Svar #5
02. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)

#4:
Det lyder ganske fornuftigt; men fortegnet på a _skal_ være negativt (se nedenfor).

Som konsekvens af modellen har f nødvendigvis formen

f(x) = k*exp(-a*x)

hvor a,k > 0 er positive konstanter [k = -c i funktionsudtrykket i #4]. Husk, at ifølge opgaveteksten beskriver f lufttrykket i højden x over havoverfladen, og endvidere aftager lufttrykket med højden:

" (...) lufttrykket halveres, når højden over havoverfladen øges med 5,54km. "

Ergo må vi have, at

f > 0 => k > 0
f'(x) = -a*f(x) < 0 => a > 0

I sagens natur kunne k passende benævnes med f_0, thi k angiver netop lufttrykket ved havoverfladen (x = 0).

Selvom opgaven intet melder derom, kunne man afslutningsvis stille det ikke helt uinteressante spørgsmål, om modellen mon er gyldig op gennem Jordens atmosfære. Svaret er nej; modellen er en rimelig tilnærmelse i de nederste henholdsvis øverste lag af atmosfæren (indtil ca. 85km og over ca. 200km). Derimellem bryder modellen sammen, primært som konsekvens af væsentligt større temperaturvariationer end i de øvrige atmosfærelag; i regionen mellem 100 og 200 kilometers højde (i termosfæren) vokser temperaturen i høj grad med højden.

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #6
02. oktober 2005 af celgrun (Slettet)

#5 Med det du har skrevet der bl.a: "I sagens natur kunne k passende benævnes med f_0, thi k angiver netop luftrykket ved havoverfladen (x=0)
Betyder det at a=0?

Og at man derved kan finde c ved at sige f(x)= c*e^0*x

og f(5,54)=500
c*e=500 <=> c=500/e

Svar #7
02. oktober 2005 af john vs. jon (Slettet)

ej nu fucker du mig op..
MIN plan:
- jeg har: f(x)=k*exp(-a*x)

- så finder jeg a ved halveringskonstanten: a=10^(log(0,5)/5,54) = a=0.8824

- så finder jeg k ved at indsætte mit punkt f(0)=1000 i f(x)=k*exp(-0.8824x)

derved har jeg bestemt forskriften..eller hvad?

Svar #8
02. oktober 2005 af john vs. jon (Slettet)

hvad siger I?

Brugbart svar (0)

Svar #9
02. oktober 2005 af fixer (Slettet)

#7 Planen er god, men bestemmelsen af a er gal.

Det er korrekt at samtlige løsninger til den forelagte differentialligning er

f(x) = k*exp(-ax), a > 0

Det oplyses nu at

f(0) = 1000 = k*exp(0) = k

og dernæst

f(5.54) = 500 = kexp(-5.54a) = 1000exp(-5.54a)

Bestem heraf a.

Brugbart svar (0)

Svar #10
02. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)

#6:
Næ, det betyder ganske enkelt, hvad der står: at k = f(0). Konstanten k har intet med a at gøre; sidstnævnte er knyttet til oplysningen om trykhalvering.

#7:
Styr lige sprogbrugen, kammerat.

Det er ikke korrekt, at a = 0,8824. Halveringskonstanten på formen

T = log(1/2)/log(a)

er knyttet til en eksponentiel udvikling på denne form:

f(x) = k*a^x (1)

Det er ikke det samme a som heri:

f(x) = k*exp(-a*x) (2)

Den konstant a, som du har beregnet, indgår i (1). Men det er (2), vi arbejder ud fra. Du forveksler simpelthen a'erne. Normalt er I nok vant til at skrive en eksponentiel udvikling således

g(x) = b*exp(-k*x) (3)

Kort sagt: k i (3) er præcis a i (2), og b i (3) er præcis k i (2).

Halveringskonstanten T' hørende til (2) tager formen

T' = ln(2)/a

//Epsilon

Svar #11
03. oktober 2005 af john vs. jon (Slettet)

Okay.. mange tak..

men er dette så rigtigt:
a=10^(log(2)/5,54) = a=1.1333..??
eller skal jeg have fat i en helt anden T’ værdi?

Brugbart svar (0)

Svar #12
03. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)

#11:
Nej, hvorfor skifter du nu til formlen for fordoblingskonstanten?

Vi tager den lige én gang for alle: til en eksponentiel udvikling

f(x) = b*a^x (*), a,b > 0, a != 1

knyttes enten en halveringskonstant

T = log(1/2)/log(a) = -log(2)/log(a),

_hvis_ 0

T = log(2)/log(a),

_hvis_ a > 1, dvs. hvis f er _voksende_. En alternativ repræsentation af en eksponentiel udvikling er som bekendt

f(x) = b*exp(-kx), k > 0 (**)

hvis f er aftagende, og

f(x) = b*exp(kx), k > 0

hvis f er voksende. I begge tilfælde kan man let udlede, at halveringskonstanten hhv. fordoblingskonstanten tager formen

T = ln(2)/k

I opgaven er vi præcis i tilfældet (**), med k = a, og derfor er halveringskonstanten

T = ln(2)/a

Bestem nu a og kontrollér derefter eventuelt, at fixers forslag i #9 leder til præcis samme resultat.

//Epsilon

Skriv et svar til: Funktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.