Find konstanterne

Du er på vej i den rigtige retning.

Du har

f(2) = 2

Og fordi det er ekstrema

f'(2) = 0

Som du selv skriver får vi givet følgende informationer om vores funktion f:

I)   f ' (2) = 0       og        II)   f(2) = 2

Udnyt disse forhold til at opstille to udtryk om funktionen f, hvoraf konstanterne a og b kan findes gennem to ligninger med to ubekendte.

Start med at differentiere funktionsforskriften:

f ' (x) = 3·a·x² + 2·b·x

Udnyt første information - at f ' (2) = 0. 

f ' (2) = 3·a·2² + 2·b·2 = 12·a + 4·b     dvs.    1)   12·a + 4·b = 0

Udnyt anden information - at f(2) = 2.

f(2) = a·2³ + b·2² = 8·a + 4·b    2)   dvs. 8·a + 4·b = 2

Løs de to ligninger 1) og 2) mht. de to ubekendte konstanter a og b; her kan der med fordel gøres brug af "lige store koefficienters metode", hvor vi ved at trække 2) fra 1) kan eliminere b og først og fremmest isolere a:

1) - 2)   (12·a + 4·b) - (8·a + 4·b) = 0 - 2 ⇔
              4·a = -2                                      ⇔
              a = - (1/2)

Indsæt nu den fundne a-konstant i enten 1) eller 2) og isolér  b.

1)         12·(-(1/2)) + 4·b = 0                       ⇔
             -6 + 4·b = 0                                    ⇔
             b = 3/2

dvs. funktionsforskriften for f er givet ved:

f(x) = -(1/2)·x³ + (3/2)·x²

# 2

Jeg tror, han på langt sigt ville have større glæde af, at du forklarede fremgangsmåden end af, at du regner hans opgave for ham . . . :-)

# 3

Det har du sikkert fuldstændig ret i. Men han har jo selv ansvaret for egen læring, og hvis han blot skriver af fra opgaven, er det hans eget problem i sidste ende. Jeg forestiller mig, at jeg giver ham noget at læne sig op ad, hvis han skulle gå fuldstændig i stå. Han kan så analysere metoden, lære den og da anvende den til andre lignende, fremtidige opgaver.