hvordan vokser en hvordan vokser en eksponentiel funktion?

En eksponentiel funktion har forskriften

     f(x) = b · a^x

Den vokser med en vis procentsats for hver x-værdi du går ud af x-aksen. Det er netop konstanten a (også betegnet fremskrivningsfaktoren), der udtrykker denne procentvise stigning, idet

      a = 1 + r  ,  hvor a er fremskrivningsfaktoren og r er vækstraten

Et eksempel på udregning af a er, hvis du f.eks. har en eksponentielt voksende funktion, der stiger 5% for hver x-værdi. Dette ville give en fremskrivningsfaktor på

     a = 1 + r = 1 + 5% = 1 + 0.05 = 1.05

Konstanten b siger ikke det store om udviklingen af funktionen idet den betegner begyndelsesværdien for funktionen, altså

     f(0) = b · a⁰ = b · 1 = b

Altså der hvor x = 0 er y = b.

Renteformlen ser som bekendt ud som

     K_n = K₀ · (1 + r)ⁿ

Sammenlignes denne med forskriften for den eksponentielle funktion ser de meget ens ud

     f(x) = b  ·   a^x                og

     K_n = K₀ · (1 + r)ⁿ

I renteformlen repræsenterer K₀ altså begyndelsesværdien (det første indsatte beløb).
(1 + r)ⁿ repræsenterer a^x og dvs. at (1 + r) må repræsenterer a, som jo var fremskrivningsfaktoren og altså den procentsats funktionen (beløbet) stiger med for hver x-værdi (hvert år n). 

:)

efter henvendelse

en voksende eksponentiel funktion

                                               y = b • a^x                       hvor a = (1+r)>1     r = p/100 er en decimalbrøk

                                              y = y_o • (1+r)^x             
   

I finansverdenen føres  Kapitaler altid et helt antal terminer n frem/tilbage
hvorfor
                                              K = K_o • (1+r)ⁿ

helt i overensstemmelse med den detaljerede fremstilling i #1

vækst

                     dK
                    ---- = ln(1+r) • K
                     dn