Hjælp til ligning

Sæt t = u+v, så får du:

u³ + v³ + 3u²v + 3uv² + (u+v) - 2 = 66

u³ + v³ + 3uv(u + v) + u + v - 2 = 66

u³ + v³ + (3uv + 1)(u+v) - 68 = 0

Bestem u og v, således at: u³ + v³ = 68 og 3uv = -1 

Lad f.eks. v  = -1/(3u) og indsæt:

u³ - (1/27)u^-3 - 68 = 0

Lad z = u³ og gang igennem med z - da opnår man 2. gradsligningen:

z² - 68z - 1/27 = 0, som kan løses på vanlig vis.

t³ + t - 68 = 0

Et gæt på en evt. heltallig rod skal gå op i konstantleddet. Det gør den så heldigvis.

Man kan nu bringe tredjegradsligningen ned v.h.a. polynomiers division, og få en 2.gradsligning, der ikke skulle volde vanskeligheder. Man skal da dividere med  ( t - 4) .

#1

Det er nok en anelse over B-niveau på STX. I øvrigt skal der vel gælde u³ + v³ = +68 .

(Det blev så redigeret på falderebet).

De tre løsninger til t³ + t - 68 = 0 er:

t₁ = 4

t₂ =  - 2 + i3.606 (afrundet)

t₃ =  - 2 - i3.606 (afrundet)

#4

På det angivne niveau skal der nok ses bort fra de komplekse rødder.

Det enkleste er at benytte heltalsmetoden i #2. Eventuelt kan man se, at 66 er tæt ved kubiktallet 64 = 4³ , så

t³ + t - 68 = 0 omskrives til

t³ -64 + t -4 = 0 , eller

t³ -4³ + t-4 = 0 , og deraf

(t-4)·(t² +4t +4²) + (t-4) = 0 , hvorved man opnår faktoriseringen

(t-4) · (t² +4t + 4 + 12 +1) = 0 , eller

(t-4) · ( (t+2)² + 13 ) = 0 , med rødderne

t = 4 ∨ t = -2 ±i·√13

#5

Det er et meget fint svar!