Integral af stykvis kontinuert funktion

Vi kan definere en trappefunktion f hvis der findes en inddeling   x₀ < x₁ <  ...  < x_n  hvorom der gælder, f er konstant på det indre af hvert delinterval        f (x) = k_i  for  x_i < x < x_{i + 1}

Heraf har vi

En begrænset funktion er integrabel på et interval [a;b], hvis middelsummerne for funktionen på intervallet hørende til en intervalinddeling af funktionen har en grænseværdi, når intervalinddelingen bliver finere og finere.

Man viser bl.a., at et kontinuert funktion på et interval [a;b] er integrabel.

Hvis en funktion er stykkevis kontinuert i [a;b], hvor den diskontinuert i c ∈ ]a;b[ , vil middelsummerne for f's restriktion til [a;c] konvergere, og middelsummerne for f's restriktion til [c;b] vil konvergere. Derfor vil middelsummerne for f selv på [a;b] også konvergere, og det er klart, at

_a∫^b f(x) dx = _a∫^c f(x) dx + _c∫^b f(x) dx .

Okay det eneste problem jeg synes er bare, at f = {a x≤i, b x>i) Så integralet på interval [x1,x2] x1<i,x2>i hvad gøres så for integralet fra x=i til x2. Defineres det som:

Int(b,limx->i,x2)?

#3 du skriver lidt underligt, men ja ∫_b^x2f(y)dy:=lim_c→b∫_c^x2f(y)dy