Matematik
MATH! opgaver!
14. oktober 2005 af
Christina2004 (Slettet)
Hej!
Er der nogen som har løst til at kigge på disse opgaver:
Jeg ved godt at de ikke er særlig svære at lave, men der er nogle enkelte steder hvor jeg er en lille smule usikker, derfor vil jeg håbe at der er nogen der har løst til at se på dem.
Opgave 1)
En plan alfa har ligningen 2x+3y-z=8
a. Bestem en parameterfremstilling for den linje gennem O som er normal til planen.
b. Bestem projektionen af punktet O(0,0,0) på planen a.
c. bestem spejlbiledet af punktet O i planen alfa:
Løsning:
a)
bestemmelse af parameterfremstillingen:
vi ved at O`s koordinatsæt er:
O(0,0,0)
Parameter fremstillingen må så være:
(x,y,z)=(0,0,0)+t*(2,3,-1)
b)
bestemmelse af projektionen af punktet O(0,0,0) på planen alfa:
så har jeg slået det op i min bog og der står følgende:
(projektionen af punkt på plan: projektionen P_ alfa af P på planen alfa med normalvektor n kan findes som skæringspunktet mellem alfa og linie gennem P med vektor n som retningsvektor)
ud fra parameter fremstillingen kan vi se at:
x=0+2t <=>2t
y=0+3t <=>3t
z=0-t <=>-t
og ifølge det som står ovenover skal man bare indsætte det ind i planens ligning:
2*(2t) + 3* (3t) – (-t) = 8<=>
4t + 9t + t = 8<=>
14 t = 8<=>
t = 8 /14<=>
t = 4/7
ved at indsætte den fundene t-værdi ind i parameterfremstillingen kan vi finde projektionen:
(x,y,z)=(0,0,0)+t*(2,3,-1) <=>
(x,y,z)=(0,0,0)+ (4/7) * (2,3,-1) <=>
(x,y,z)= (8/7 , 12/7 , -4/7 )
c)
?
------------------------------
opgave 2)
bestem afstanden fra punktet (5 , -4, 3) til hver af planerne:
alfa: 2x+z=4
beta: x-2y+3z-5=0
løsning:
dist(P,alfa) = la*x + b*y + c*z +d l / sqrt(a^2 + b^2 +c^2 ) <=>
dist(P,alfa) = l 2*5 + 0*(-4) + 1*3 + (-4) l / sqrt(2^2 + 0^2 +1^2) <=>
dist(P.alfa) = 9 / sqrt(5)
dist(P,beta) = la*x + b*y + c*z +d l / sqrt(a^2 + b^2 +c^2 ) <=>
dist(P,beta) = l 1*5 + (-2)* (-4) + 3*3 + (-5) l / sqrt(1^2 + (-2)^2 + 3^2) <=>
dist(P,bata) = 17 / sqrt(14)
------------------------------
opgave 3)
En kugle K og plan alfa har ligninger
K: x^2 +y^2 +z^2 +4x-6y =12
alfa: x-2y+3z = 3
a) bestem kuglens centrum og radius
b) bestem afstanden mellem kuglens centrum og alfa
c) bestem radius i den cirkel hvori alfa skærer kuglen.
Løsning:
a)
x^2 +y^2 +z^2 +4x-6y =12 <=>
(x+2)^2 – 2^2 +(y-3)^2 – 3^2 +(z-0)^2 = 12 <=>
(x+2)^2 +(y-3)^2 +(z-0)^2 = 25 <=>
dvs. at kuglens centrum og radius er:
centrum: C(-2 , 3 , 0)
radius: r = sqrt(25) = 5
b)
dist(C,alfa) = la*x + b*y + c*z +d l / sqrt(a^2 + b^2 +c^2 ) <=>
dist(C,alfa) = l 1* (-2) + (-2) * 3 + 3*0 + (-3) l / sqrt(1^2 + (-2)^2 + 3^2) <=>
dist(C,alfa) = l -11 l / sqrt(14) <=>
dist(C,alfa) = 11 / sqrt(14)
c)
?
------------------------------
opgave 4)
to planer er givet ved ligningerne:
alfa: 3x-y+2z=10
beta: x-2y-z =5
bestem den spidse vinkel mellem de to planer:
løsning:
er ikke sikker men tror at man kan regne det ud på følgende måde:
n står for normalvektor:
n_ alfa = ( 3 , -1 , 2)
n_ beta = (1 , -2 , -1)
og så finde vinklen mellem n_ alfa og n_ beta:
cos(v) = n_ alfa * n_ beta / (l n_ alfa l * ln_ beta l ) <=>
cos(v) = 3*1 + (-1)*(-2) + 2*(-1) / (sqrt(3^2 + (-1)^2 +2^2) * sqrt(1^2 + (-2)^2 + (-1)^2 )) <=>
cos(v) = 3 / (sqrt(3^2 + (-1)^2 +2^2) * sqrt(1^2 + (-2)^2 + (-1)^2 )) <=>
cos(v) = 3 / ( sqrt(14) * sqrt(6)) <=>
cos(v) = 0,3273268354<=>
v = cos^-1 (0,3273268354) <=>
v = 70,89 grader
Dvs. at den spidse vinkel er: 70,89 grader.
------------------------------
opgave 5)
En kugle har ligningen
x^2 + y^2 +z^2 + 3y = 10
vis at punktet P(3,0,1) ligger på kuglen, og bestem en ligning for den tangentplan til kuglen som går igennem P.
løsning:
ved at indsætte punktet P ind i ligningen for kuglen kan vi se om den ligger på kuglen.
3^2 + 0^2 +1^2 + 3*0 = 10<=>
10 = 10
Hermed har vi vist at punktet ligger på kuglen.
x^2 + y^2 +z^2 + 3y = 10
ved at skrive om på ligningen fås følgende:
(x+0)^2 + (y+ (3/2))^2 – (3/2)^2 +(z+0)^2 = 10^2<=>
(x+0)^2 + (y+ (3/2))^2 +(z+0)^2 = 10^2 +(9/4) <=>
(x+0)^2 + (y+ (3/2))^2 +(z+0)^2 = 391/4
centrum: C(0, -3/2 , 0)
P(3,0,1)
n= CP=( 3-0 , 0 – 3/2 , 1-0)
n= CP=(3 , +3/2 , 1)
Ligningen for planen bliver så:
a*(x-xo)+b*(y-yo)+c*(z-zo)=0 =>
3*(x-3) + 3/2* (y-0) + 1*(z-1) = 0<=>
3x – 9 +3/2y +z – 1 = 0<=>
3x + 3/2y + z -10 = 0
På forhånd tak
Med venlig hilsen
Christina Nilsen
Er der nogen som har løst til at kigge på disse opgaver:
Jeg ved godt at de ikke er særlig svære at lave, men der er nogle enkelte steder hvor jeg er en lille smule usikker, derfor vil jeg håbe at der er nogen der har løst til at se på dem.
Opgave 1)
En plan alfa har ligningen 2x+3y-z=8
a. Bestem en parameterfremstilling for den linje gennem O som er normal til planen.
b. Bestem projektionen af punktet O(0,0,0) på planen a.
c. bestem spejlbiledet af punktet O i planen alfa:
Løsning:
a)
bestemmelse af parameterfremstillingen:
vi ved at O`s koordinatsæt er:
O(0,0,0)
Parameter fremstillingen må så være:
(x,y,z)=(0,0,0)+t*(2,3,-1)
b)
bestemmelse af projektionen af punktet O(0,0,0) på planen alfa:
så har jeg slået det op i min bog og der står følgende:
(projektionen af punkt på plan: projektionen P_ alfa af P på planen alfa med normalvektor n kan findes som skæringspunktet mellem alfa og linie gennem P med vektor n som retningsvektor)
ud fra parameter fremstillingen kan vi se at:
x=0+2t <=>2t
y=0+3t <=>3t
z=0-t <=>-t
og ifølge det som står ovenover skal man bare indsætte det ind i planens ligning:
2*(2t) + 3* (3t) – (-t) = 8<=>
4t + 9t + t = 8<=>
14 t = 8<=>
t = 8 /14<=>
t = 4/7
ved at indsætte den fundene t-værdi ind i parameterfremstillingen kan vi finde projektionen:
(x,y,z)=(0,0,0)+t*(2,3,-1) <=>
(x,y,z)=(0,0,0)+ (4/7) * (2,3,-1) <=>
(x,y,z)= (8/7 , 12/7 , -4/7 )
c)
?
------------------------------
opgave 2)
bestem afstanden fra punktet (5 , -4, 3) til hver af planerne:
alfa: 2x+z=4
beta: x-2y+3z-5=0
løsning:
dist(P,alfa) = la*x + b*y + c*z +d l / sqrt(a^2 + b^2 +c^2 ) <=>
dist(P,alfa) = l 2*5 + 0*(-4) + 1*3 + (-4) l / sqrt(2^2 + 0^2 +1^2) <=>
dist(P.alfa) = 9 / sqrt(5)
dist(P,beta) = la*x + b*y + c*z +d l / sqrt(a^2 + b^2 +c^2 ) <=>
dist(P,beta) = l 1*5 + (-2)* (-4) + 3*3 + (-5) l / sqrt(1^2 + (-2)^2 + 3^2) <=>
dist(P,bata) = 17 / sqrt(14)
------------------------------
opgave 3)
En kugle K og plan alfa har ligninger
K: x^2 +y^2 +z^2 +4x-6y =12
alfa: x-2y+3z = 3
a) bestem kuglens centrum og radius
b) bestem afstanden mellem kuglens centrum og alfa
c) bestem radius i den cirkel hvori alfa skærer kuglen.
Løsning:
a)
x^2 +y^2 +z^2 +4x-6y =12 <=>
(x+2)^2 – 2^2 +(y-3)^2 – 3^2 +(z-0)^2 = 12 <=>
(x+2)^2 +(y-3)^2 +(z-0)^2 = 25 <=>
dvs. at kuglens centrum og radius er:
centrum: C(-2 , 3 , 0)
radius: r = sqrt(25) = 5
b)
dist(C,alfa) = la*x + b*y + c*z +d l / sqrt(a^2 + b^2 +c^2 ) <=>
dist(C,alfa) = l 1* (-2) + (-2) * 3 + 3*0 + (-3) l / sqrt(1^2 + (-2)^2 + 3^2) <=>
dist(C,alfa) = l -11 l / sqrt(14) <=>
dist(C,alfa) = 11 / sqrt(14)
c)
?
------------------------------
opgave 4)
to planer er givet ved ligningerne:
alfa: 3x-y+2z=10
beta: x-2y-z =5
bestem den spidse vinkel mellem de to planer:
løsning:
er ikke sikker men tror at man kan regne det ud på følgende måde:
n står for normalvektor:
n_ alfa = ( 3 , -1 , 2)
n_ beta = (1 , -2 , -1)
og så finde vinklen mellem n_ alfa og n_ beta:
cos(v) = n_ alfa * n_ beta / (l n_ alfa l * ln_ beta l ) <=>
cos(v) = 3*1 + (-1)*(-2) + 2*(-1) / (sqrt(3^2 + (-1)^2 +2^2) * sqrt(1^2 + (-2)^2 + (-1)^2 )) <=>
cos(v) = 3 / (sqrt(3^2 + (-1)^2 +2^2) * sqrt(1^2 + (-2)^2 + (-1)^2 )) <=>
cos(v) = 3 / ( sqrt(14) * sqrt(6)) <=>
cos(v) = 0,3273268354<=>
v = cos^-1 (0,3273268354) <=>
v = 70,89 grader
Dvs. at den spidse vinkel er: 70,89 grader.
------------------------------
opgave 5)
En kugle har ligningen
x^2 + y^2 +z^2 + 3y = 10
vis at punktet P(3,0,1) ligger på kuglen, og bestem en ligning for den tangentplan til kuglen som går igennem P.
løsning:
ved at indsætte punktet P ind i ligningen for kuglen kan vi se om den ligger på kuglen.
3^2 + 0^2 +1^2 + 3*0 = 10<=>
10 = 10
Hermed har vi vist at punktet ligger på kuglen.
x^2 + y^2 +z^2 + 3y = 10
ved at skrive om på ligningen fås følgende:
(x+0)^2 + (y+ (3/2))^2 – (3/2)^2 +(z+0)^2 = 10^2<=>
(x+0)^2 + (y+ (3/2))^2 +(z+0)^2 = 10^2 +(9/4) <=>
(x+0)^2 + (y+ (3/2))^2 +(z+0)^2 = 391/4
centrum: C(0, -3/2 , 0)
P(3,0,1)
n= CP=( 3-0 , 0 – 3/2 , 1-0)
n= CP=(3 , +3/2 , 1)
Ligningen for planen bliver så:
a*(x-xo)+b*(y-yo)+c*(z-zo)=0 =>
3*(x-3) + 3/2* (y-0) + 1*(z-1) = 0<=>
3x – 9 +3/2y +z – 1 = 0<=>
3x + 3/2y + z -10 = 0
På forhånd tak
Med venlig hilsen
Christina Nilsen
Svar #1
14. oktober 2005 af fixer (Slettet)
OPG 1
a) ok.
b) Resultatet er korrekt men pas på med brugen af biimplikationspile ("<=>"). Denne anvendes mellem ensbetydende udsagn. Følgelig kan man ikke skrive som du gør
x=0+2t <=>2t
y=0+3t <=>3t
z=0-t <=>-t
men derimod
x=0+2t <=>x = 2t
y=0+3t <=>y = 3t
z=0-t <=>z = -t
eller, hvad jeg ville foretrække
x=0+2t = 2t
y=0+3t = 3t
z=0-t = -t
Tilsvarende kan der heller ikke anvendes biimplikationspil mellem første og anden linie i
(x,y,z)=(0,0,0)+t*(2,3,-1) <=>
(x,y,z)=(0,0,0)+ (4/7) * (2,3,-1)
Første linie er jo gældende for alle t, anden kun for eet bestemt t. Man kan derfor kun bruge implikationspilen =>
(x,y,z)=(0,0,0)+t*(2,3,-1) =>
(x,y,z)=(0,0,0)+ (4/7) * (2,3,-1) <=>
c) Spejlingspunktet af O ligger på linien gennem O som er normal til planen. Det ligger ydermere netop ligeså langt fra planen som O, men på den "anden" side. Den parameterværdi, der svarer til spejlingspunktet, er derfor det dobbelte af parameterværdien du fandt i spm. b.
OPG 2
Igen, der gælder kun implikation mellem første og anden linie i udregningen for hver plan.
Ellers ok.
OPG 3
a) ok, men slet biimplikationspilen i sidste linie
"(x+2)^2 +(y-3)^2 +(z-0)^2 = 25 <=> "
idet der følger tekst bagefter.
b)
ok, men slet biimplikationspil efter første linie og erstat med implikationspil.
c) Vink: Betragt et snit gennem K vinkelret på planen [på et stykke papir vil dette altså afbildes som en cirkel med en ret linie igennem]. Diameteren i skæringscirklen mellem K og planet er længden af det liniestykke i snittet, der ligger indenfor snitcirklen. Udnyt nu at du i b) bestemt afstanden mellem kuglens centrum C og planen. I det omtalte snit er dette afstanden mellem cirklens centrum og den rette linie. Simpelt trigonometri vil give svaret.
OPG 4
ok, men du glemmer at sætte et par parenteser og misbruger et par biimplikationer. Jeg har nummereret linierne nedenfor:
1. cos(v) = n_ alfa * n_ beta / (l n_ alfa l * ln_ beta l ) <=>
2. cos(v) = 3*1 + (-1)*(-2) + 2*(-1) / (sqrt(3^2 + (-1)^2 +2^2) * sqrt(1^2 + (-2)^2 + (-1)^2 )) <=>
3. cos(v) = 3 / (sqrt(3^2 + (-1)^2 +2^2) * sqrt(1^2 + (-2)^2 + (-1)^2 )) <=>
4. cos(v) = 3 / ( sqrt(14) * sqrt(6)) <=>
5. cos(v) = 0,3273268354<=>
6. v = cos^-1 (0,3273268354) <=>
7. v = 70,89 grader
ad 1) Erstat <=> med =>
ad 2) Glemt parentes om tælleren
ad 5-6) Udelad disse linier: angiv aldrig en decimalfremstilling, vi regner eksakt. Biimplikation mellem linie 5 og 6 gælder heller ikke. Der er nemligt uendeligt mange løsninger til ligningen i linie 5, og cos^(-1) giver kun een af dem. Det betyder sammenfattende at 5-6 udelades og <=> i 4. linie skal erstattes med =>
OPG 5
Der begås en regnefejl i linierne
(x+0)^2 + (y+ (3/2))^2 – (3/2)^2 +(z+0)^2 = 10^2<=>
(x+0)^2 + (y+ (3/2))^2 +(z+0)^2 = 10^2 +(9/4) <=>
idet højresiden i første linie jo er 10, ikke 10^2=100. Derfor bestemmes radius forkert. Den korrekte omskrivning ender i
x^2 + (y+ (3/2))^2 +z^2 = 49/4
således at radius i kuglen er 7/2.
Resten er ok. Som en sidste kontrol kunne du prøve at indsætte P i ligningen for tangentplanen og vise at ligningen tilfredsstilles heri.
a) ok.
b) Resultatet er korrekt men pas på med brugen af biimplikationspile ("<=>"). Denne anvendes mellem ensbetydende udsagn. Følgelig kan man ikke skrive som du gør
x=0+2t <=>2t
y=0+3t <=>3t
z=0-t <=>-t
men derimod
x=0+2t <=>x = 2t
y=0+3t <=>y = 3t
z=0-t <=>z = -t
eller, hvad jeg ville foretrække
x=0+2t = 2t
y=0+3t = 3t
z=0-t = -t
Tilsvarende kan der heller ikke anvendes biimplikationspil mellem første og anden linie i
(x,y,z)=(0,0,0)+t*(2,3,-1) <=>
(x,y,z)=(0,0,0)+ (4/7) * (2,3,-1)
Første linie er jo gældende for alle t, anden kun for eet bestemt t. Man kan derfor kun bruge implikationspilen =>
(x,y,z)=(0,0,0)+t*(2,3,-1) =>
(x,y,z)=(0,0,0)+ (4/7) * (2,3,-1) <=>
c) Spejlingspunktet af O ligger på linien gennem O som er normal til planen. Det ligger ydermere netop ligeså langt fra planen som O, men på den "anden" side. Den parameterværdi, der svarer til spejlingspunktet, er derfor det dobbelte af parameterværdien du fandt i spm. b.
OPG 2
Igen, der gælder kun implikation mellem første og anden linie i udregningen for hver plan.
Ellers ok.
OPG 3
a) ok, men slet biimplikationspilen i sidste linie
"(x+2)^2 +(y-3)^2 +(z-0)^2 = 25 <=> "
idet der følger tekst bagefter.
b)
ok, men slet biimplikationspil efter første linie og erstat med implikationspil.
c) Vink: Betragt et snit gennem K vinkelret på planen [på et stykke papir vil dette altså afbildes som en cirkel med en ret linie igennem]. Diameteren i skæringscirklen mellem K og planet er længden af det liniestykke i snittet, der ligger indenfor snitcirklen. Udnyt nu at du i b) bestemt afstanden mellem kuglens centrum C og planen. I det omtalte snit er dette afstanden mellem cirklens centrum og den rette linie. Simpelt trigonometri vil give svaret.
OPG 4
ok, men du glemmer at sætte et par parenteser og misbruger et par biimplikationer. Jeg har nummereret linierne nedenfor:
1. cos(v) = n_ alfa * n_ beta / (l n_ alfa l * ln_ beta l ) <=>
2. cos(v) = 3*1 + (-1)*(-2) + 2*(-1) / (sqrt(3^2 + (-1)^2 +2^2) * sqrt(1^2 + (-2)^2 + (-1)^2 )) <=>
3. cos(v) = 3 / (sqrt(3^2 + (-1)^2 +2^2) * sqrt(1^2 + (-2)^2 + (-1)^2 )) <=>
4. cos(v) = 3 / ( sqrt(14) * sqrt(6)) <=>
5. cos(v) = 0,3273268354<=>
6. v = cos^-1 (0,3273268354) <=>
7. v = 70,89 grader
ad 1) Erstat <=> med =>
ad 2) Glemt parentes om tælleren
ad 5-6) Udelad disse linier: angiv aldrig en decimalfremstilling, vi regner eksakt. Biimplikation mellem linie 5 og 6 gælder heller ikke. Der er nemligt uendeligt mange løsninger til ligningen i linie 5, og cos^(-1) giver kun een af dem. Det betyder sammenfattende at 5-6 udelades og <=> i 4. linie skal erstattes med =>
OPG 5
Der begås en regnefejl i linierne
(x+0)^2 + (y+ (3/2))^2 – (3/2)^2 +(z+0)^2 = 10^2<=>
(x+0)^2 + (y+ (3/2))^2 +(z+0)^2 = 10^2 +(9/4) <=>
idet højresiden i første linie jo er 10, ikke 10^2=100. Derfor bestemmes radius forkert. Den korrekte omskrivning ender i
x^2 + (y+ (3/2))^2 +z^2 = 49/4
således at radius i kuglen er 7/2.
Resten er ok. Som en sidste kontrol kunne du prøve at indsætte P i ligningen for tangentplanen og vise at ligningen tilfredsstilles heri.
Svar #2
15. oktober 2005 af Christina2004 (Slettet)
Lige et par spørgsmål:
Opgave 1)
b)
skal man skrive
(x,y,z)= (8/7 , 12/7 , -4/7 ) på denne her måde eller skal det står lodret?
c)
t=4/7 * 2 <=>
t=8/7
Er det bare det eller skal man også skrive parameterfremstillingen.
Opgave 3)
c)
er ikke helt med!
Forsten endnu en gang tak fordi du gad at brude din tid på at hjælpe mig ;-)
Opgave 1)
b)
skal man skrive
(x,y,z)= (8/7 , 12/7 , -4/7 ) på denne her måde eller skal det står lodret?
c)
t=4/7 * 2 <=>
t=8/7
Er det bare det eller skal man også skrive parameterfremstillingen.
Opgave 3)
c)
er ikke helt med!
Forsten endnu en gang tak fordi du gad at brude din tid på at hjælpe mig ;-)
Svar #3
16. oktober 2005 af fixer (Slettet)
OPG 1:
b) Kaldes projektionspunktet P, så skriver man P(8/7,12/7,-4/7) når man angiver koordinaterne for P. Skriv dem ikke på søjleform. Man kunne forledes til at tro du mener en vilkårlig vektor med disse koordinater.
c) Det er ikke nok. Spejlbilledet af O er et punkt. Du skal angive koordinaterne for dette punkt. Disse fremkommer jo ved at indsætte den fundne parameterværdi (t=8/7) i parameterfremstillingen for linien. Også dette punkts koordinater angiver du som i svaret til b) ovenfor.
c) Jeg vil have dig til at se situationen i to dimensioner i stedet for tre.
Forestil dig at du kigger parallelt med planet alfa ind på kuglen K. Hvad vil du så se ? Du vil se en cirkel (nemlig omridset af kuglen) med en ret linie tværs igennem (planen set fra "siden"). Tegn det på et stykke papir.
Du ved nu, jvf spm b), hvor stor afstanden fra cirklens centrum og vinkelret ud til den rette linie er. Den er jo nemlig den samme som fra kuglens centrum C og ud til planen alfa.
Prøv nu på din tegning at indtegne en ret linie fra cirklens centrum vinkelret ud til den rette linie. Længden af dette liniestykke er altså præcist det du har bestemt i spm b).
Tegn nu en anden ret linie fra cirklens centrum og ud til et af de to punkter på cirkelperiferien, hvor denne skæres af den rette linie. Denne linie er radius i cirklen. Cirklen har selvfølgelig samme radius af kuglen for den er jo blot et tværsnit af denne, så dette liniestykke kender du også længden af.
Lur mig nu om ikke der dukker en retvinklet trekant frem hvori den søgte radius er den eneste ukendte sidelængde. Kan du set det ?
b) Kaldes projektionspunktet P, så skriver man P(8/7,12/7,-4/7) når man angiver koordinaterne for P. Skriv dem ikke på søjleform. Man kunne forledes til at tro du mener en vilkårlig vektor med disse koordinater.
c) Det er ikke nok. Spejlbilledet af O er et punkt. Du skal angive koordinaterne for dette punkt. Disse fremkommer jo ved at indsætte den fundne parameterværdi (t=8/7) i parameterfremstillingen for linien. Også dette punkts koordinater angiver du som i svaret til b) ovenfor.
c) Jeg vil have dig til at se situationen i to dimensioner i stedet for tre.
Forestil dig at du kigger parallelt med planet alfa ind på kuglen K. Hvad vil du så se ? Du vil se en cirkel (nemlig omridset af kuglen) med en ret linie tværs igennem (planen set fra "siden"). Tegn det på et stykke papir.
Du ved nu, jvf spm b), hvor stor afstanden fra cirklens centrum og vinkelret ud til den rette linie er. Den er jo nemlig den samme som fra kuglens centrum C og ud til planen alfa.
Prøv nu på din tegning at indtegne en ret linie fra cirklens centrum vinkelret ud til den rette linie. Længden af dette liniestykke er altså præcist det du har bestemt i spm b).
Tegn nu en anden ret linie fra cirklens centrum og ud til et af de to punkter på cirkelperiferien, hvor denne skæres af den rette linie. Denne linie er radius i cirklen. Cirklen har selvfølgelig samme radius af kuglen for den er jo blot et tværsnit af denne, så dette liniestykke kender du også længden af.
Lur mig nu om ikke der dukker en retvinklet trekant frem hvori den søgte radius er den eneste ukendte sidelængde. Kan du set det ?
Svar #4
16. oktober 2005 af fixer (Slettet)
Staverettelse til #3 til spm c):
"samme radius af kuglen"
skal være:
"samme radius som kuglen"
"samme radius af kuglen"
skal være:
"samme radius som kuglen"
Svar #5
16. oktober 2005 af Christina2004 (Slettet)
Opgave 2)
b)
P (8/7 , 12/7 , -4/7 )
c)
(x,y,z)=(0,0,0)+t*(2,3,-1) =>
(x,y,z)=(0,0,0)+ 8/7*(2,3,-1) <=>
(x,y,z)=(16/7 , 24/7 , -8/7)
dvs. at spejlingspunktet bliver (16/7 , 24/7 , -8/7)
Opgave 3)
c)
Så har jeg tegnet det du sagde og fik en retvinklet trekant ud af det.
Så har jeg fået hypotenusen (fra centrummet ud til cirkelperiferien) til at være r =sqrt(25) = 5 og de ene sidelængde (fra centrummet ud til den rette linie som skærer cirklen) til at være 11/sqrt(14).
Så kan man bruge pythagoras til at finde den sidste ukendte sidelængde:
c^2 = a^2 + b^2 =>
5^2 = a^2 + (11/sqrt(14))^2 <=>
5^2 - (11/sqrt(14))^2 = a^2 <=>
229/14 = a^2 <=>
sqrt(229/14) = a <=>
4,0444 = a <=>
dvs. at den radius i den cirkel hvori alfa skærer kuglen er 4,0444.
tror at det er rigtigt nu!
b)
P (8/7 , 12/7 , -4/7 )
c)
(x,y,z)=(0,0,0)+t*(2,3,-1) =>
(x,y,z)=(0,0,0)+ 8/7*(2,3,-1) <=>
(x,y,z)=(16/7 , 24/7 , -8/7)
dvs. at spejlingspunktet bliver (16/7 , 24/7 , -8/7)
Opgave 3)
c)
Så har jeg tegnet det du sagde og fik en retvinklet trekant ud af det.
Så har jeg fået hypotenusen (fra centrummet ud til cirkelperiferien) til at være r =sqrt(25) = 5 og de ene sidelængde (fra centrummet ud til den rette linie som skærer cirklen) til at være 11/sqrt(14).
Så kan man bruge pythagoras til at finde den sidste ukendte sidelængde:
c^2 = a^2 + b^2 =>
5^2 = a^2 + (11/sqrt(14))^2 <=>
5^2 - (11/sqrt(14))^2 = a^2 <=>
229/14 = a^2 <=>
sqrt(229/14) = a <=>
4,0444 = a <=>
dvs. at den radius i den cirkel hvori alfa skærer kuglen er 4,0444.
tror at det er rigtigt nu!
Svar #6
16. oktober 2005 af fixer (Slettet)
Nemlig.
Dog bør du i 3c) ikke angive radius i decimalfremstilling. I matematik regnes eksakt, så det korrekte svar er
r = sqrt(229/14)
Dog bør du i 3c) ikke angive radius i decimalfremstilling. I matematik regnes eksakt, så det korrekte svar er
r = sqrt(229/14)
Svar #7
17. oktober 2005 af Christina2004 (Slettet)
ok!
tusind tak for hjælpen!
Jeg ville aldrig have lavet den uden din hjælp!
tusind tak for hjælpen!
Jeg ville aldrig have lavet den uden din hjælp!
Skriv et svar til: MATH! opgaver!
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.