At genkende enheden

Vi ved, at halveringstiden kan beskrives ved

T[1/2] = ln(2)/lambda

hvor lambda er henfaldskonstanten. Da enheden for lambda er s^(-1), følger det umiddelbart at enheden for T[1/2] er sekunder, thi ln(2) er enhedsløs, så enheden for halveringstiden bliver

1/s^(-1) = s

jeg må ærligt talt indrømme jeg ikke kan følge logikken.

jeg ville ønske jeg kunne læse noget om noget som burde være simpelt men som bliver ved med at forvirre mig

da jeg førs stødte på udtrykket

xs^-1 fik jeg at vide at det er det samme som at sige x / s

vil det så sige at 1/ s^-1 er det samme som 1//s . Jeg er meget træt og det her er alt for sent , men jeg håber i kan tage hensyn jeg har brug for at få det her slået med enheds udregning slået på plads for at være sikker når jeg engang bliver spurgt

Meri-Hb

#2 Lad os starte med potensfunktionerne, så kigger vi bagefter på enheder.

Der gælder for potensfunktioner en række regneregler, som du formodentligt er bekendt med (ellers bliver du det nu).

Der gælder bl.a. følgende regler for potenser:

(1) x^0 = 1
(2) (x^a)*(x^b) = x^(a+b)
(3) (x^a)/(y^a) = (x/y)^a
(4) (x^a)/(x^b) = x^(a-b)
(5) (x^a)^b = x^(ab)

Specielt følger af regel (1) og (4) at

1/(x^a) = (x^0)/(x^a) = x^(0-a) = x^(-a) (*)

Man skal altså blot huske på at x^(-a) er ensbetydende med 1/x^a.

Det vil altså sige at f.eks.

1/s = s^(-1) [svarende til a=1 i (*)]

og at

1/s^(-1) = s [svarende til a=-1 i (*)]

Af andre eksempler nævnes i flæng:

ms^(-2) = m/s^2

eller

kg/m^3 = kg*m^(-3)

og så fremdeles.

Lad os vende os mod enhedsbetragtninger. Som nævnt i din anden tråd betegner man sædvanligvis med [s] dimensionen (enheden) af størrelsen s. En ligning, der udtrykker noget fysisk meningsfuldt, skal naturligvis have samme dimension på begge sider. Dette kan benyttes til at bestemme enheden af en størrelse, hvis enhed ikke er kendt på forhånd.

I det konkrete tilfælde haves for halveringstiden

T½ = ln(2)/lambda =>

[T½] = [ln(2)]/[lambda] <=>

s = 1/[lambda] <=>

[lambda] = s

Dimensionsanalyse kan også være nyttigt ved opstilling af empiriske sammenhænge. Eksempelvis kan man forestille sig at vi leder efter en formel for svingningstiden af et matematisk pendul.

Dette består af en partikel med masse m ophængt for enden af en snor med længde l. Det er naturligvis muligt at regne sig frem til svingningstiden, men lad os for illustrationens skyld antage, at vi ikke er i stand til dette.

Man spørger så sig selv: hvad kan svingningstiden mon tænkes at afhænge af ? Denne må jo nok afhænge af tyngdeaccelerationen g, da det er den der er ansvarlig for bevægelsen. Den afhænger nok også af snorlængden, for det har vi sikkert konstateret ved forsøg. Man kunne også forestille sig, at den afhæng af massen m. Man kan så gøre den antagelse at svingningstiden T afhænger af potenser af disse størrelser, altså at

T ~ (m^a)*(g^b)*(l^c)

hvor a,b,c er konstanter. Bemærk at der er anvendt "proportional med" tegnet ~. Det er muligt, at der i udtrykket skal indgå en dimensionløs konstant. Enhedsanalysen viser nu

[T] = [m^a][g^b][l^c] <=>
s = (kg^a)((m/s^2)^b)(m^c) <=>
s = (kg^a)(m^b)(s^(-2b))(m^c) <=>
s = (kg^a)(m^(b+c))s^(-2b)

For at dimensionerne kan passe må vi kræve

a = 0 [så forsvinder kg]
b+c = 0 [ så forsvinder m]
-2b = 1 [så bliver ligningen s=s]

heraf b=-½, c=½. Da vi i sagens natur ikke kan bestemme enheden af en dimensionsløs konstant, der evt måtte indgå, bliver vores arbejdshypotese alstå, at svingningstiden T for det matematiske pendul er

T = K(g^(-½))l^½ = K(l/g)^½ = K*sqrt(l/g)

hvor vi har anvendt regel (3) ved lighedstegn nummer to. K er en dimensionsløs konstant.