Matematik
Side 2 - Eksponentielle funktioner
Svar #21
19. oktober 2005 af Esmil (Slettet)
(1/10)^x = (1^x)/(10^x) = 1/(10^x)
Dog ikke hvis du i den første funktion mener ((1+1)/(10^x))^x
;-)
Svar #22
19. oktober 2005 af iB (Slettet)
Undskyld jeg springer tilbage i tråden, men jeg kunne ikke lade være med at teste (-1)^2.48 på min Ti89. Knægten har jo ret: Hvor ulogisk det end lyder, spytter også den 1 ud, hvis man regne reelt. Ber man den regne komplekst, får man et komplekst svar.
allan_sim, siden du kender til dette fra før, kan du så give en logisk forklaring på det?
Svar #23
19. oktober 2005 af allan_sim
Jeg kender ikke til det fra før. Det var blot et kvalificeret gæt :-)
Hvad det skyldes, aner jeg ikke - faktum er, at det som udgangspunkt er noget sludder...
Svar #24
19. oktober 2005 af Duffy
Få dig en ordentlig lommeregner eller hold dig fra de komplekse tal ;-)
En udregning kan IKKE have 2 forskellige resultater. Det strider imod hele den matematiske struktur.
(-1)^(2,48) er og bliver komplekst.
Nemlig som tidligere skrevet:
(-1)^(2,48) = 0.06279 + 0.998i (ca)
Jah, hvorfor kan man udregne
(-4)^2 = 16
og ikke
(-1)^(2,48)???
Som antydet i #12 er
e^(iy) = cosy+isiny
y er således retningsvinklen til tallet på den komplekse enheds-cirkel.
Tallet -1 ligger på en relle akse ("lige til venstre for nul") og har retningsvinkel pi.
Ganger man to tal på den komplekse-enhedscirkel,e^(iy0)hhv e^(iy1) med hinanden skal deres retningsvinkler adderes:
e^(iy0)·e^(iy1) = e^(i[y0+y1])
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Forvirringen opstår da de relle tal R er indlejret i de komplekse tal C.
Til tider må man en tur ud i de komplekse tal for at udregne noget reelt.
Duffy
Svar #25
20. oktober 2005 af Norn (Slettet)
Lige er summering:
Ifølge grafregneren var (-1)^2.46 komplekst. Det var alle vidst enig i (ik sandt?)
Grafregneren siger så at (-1)^2,48 er et reelt tal, hvilket folk var uenige i.
Grunden til (-1)^2.46 er, som tideligere nævnt i tråden, at der foretages en roduddragelse af -1. Hvorfor? Fordi eksponenten kan omskrives til 246/100, som igen kan forkortes til gen ægte brøk 123/50. Man har reglen som siger at z^(x/y)=y.rod(z^x). Man betragter tælleren i brøken og ser at denne er ulige, hvorfor at potensen bliver negativ --> altså må der foretages en roduddragelse af et negativt tal = komplekst.
(-1)^2,48 er reelt. 2,48 omskrives til brøk --> 248/100 som igen omskrives til ægte brøk --> 62/25. Tælleren er lige hvorfor at tallet må blive reelt.
Man kan altså opstille følgende regel, som identificerer et reelt tal: Hvis et negativt grundtal opløftes i et decimaltal vil potensen kun være reel, hvis tælleren i den ægte brøk, som decimaltallet kan omskrives til, er et lige tal.
Ergo: Grafregneren har ret!
Tak for mig :) og tak for hjælpen!
OG brok jer lige, hvis jeg tager fejl:) Men jeg synes nu at forklaringen er god og det ikke virker som noget sludder...
Svar #26
20. oktober 2005 af allan_sim
Fortæl mig så, hvorfor lommeregneren giver -1 som resultat på udtrykket
(-1)^1,48
hvor 1,48=37/25 ?
I øvrigt er exp(x) en anden måde at skrive e^x.
Svar #28
20. oktober 2005 af fixer (Slettet)
Som subtilt antydet i #26 går du galt i byen i dine betragtninger af rationelle potenser.
Dine betragtninger har rod i en misforståelse muligvis introduceret i #18. Det gælder nemlig ikke generelt indenfor de reelle tal at
x^(a/b) = (x^a)^(1/b)
thi vi må kræve at x E R+. Hvis x
For nu at gøre det helt klart, så er definitionen på potensbegrebet indenfor de reelle tal:
Lad a E R+, k E R. Ved a^k forstås det positive reelle tal, hvis naturlige logaritme er k*log(a).
Der gælder således følgende definitionsligning
log(a^k) = k*log(a)
Ved anvendelse af logaritmereglerne og ovenstående definitionsligning er det let at vise at for ethvert a E R+ og ethvert n,m E N er
a^(n/m) = (a^m)^(1/n), n != 0 (*)
Det kan ikke understreges kraftigt nok, at indenfor de reelle tal er potenser med negative grundtal og vilkårlig eksponent ikke definerede. Udtryk som (-1)^(62/25) og (-1)^(123/50) er således meningsløse indenfor de reelle tal. Derfor kan reglen (*) heller ikke bringes i anvendelse.
Svar #29
20. oktober 2005 af Esmil (Slettet)
Hvis det galdt for alle reelle tal kunne man sikkert også vise, at
(-1)^(1/2) = (-1)^(2/4) = 4. rod af (-1)^2 = 4. rod af 1 = 1,
og det er helt sikkert ikke rigtigt.
Svar #30
20. oktober 2005 af Norn (Slettet)
Men hvad pokker er det så TI-89 laver? Det er da mystisk!
Tak for hjælpen indtil nu!
Svar #31
20. oktober 2005 af frodo (Slettet)
Det kunne være interessant at høre, hvad de har at sige
Svar #33
22. oktober 2005 af sigmund (Slettet)
Svar #35
22. oktober 2005 af sigmund (Slettet)
Derfor bliver det interessant at se hvad TI svarer dig.
Svar #36
22. oktober 2005 af Norn (Slettet)
Svar #37
22. oktober 2005 af sigmund (Slettet)
Svar #38
22. oktober 2005 af Norn (Slettet)
Svar #39
22. oktober 2005 af sigmund (Slettet)
Det lyder ellers mærkeligt at der er en indstilling for 'complex format', der hedder 'real'. For mig giver det ikke mening.
Igen bliver det interessant at se, hvad TI siger til dette.
Svar #40
28. november 2005 af sigmund (Slettet)
Fik du aldrig noget svar fra TI på dit spørgsmål?