Studentereksamen 2013 - 24. maj

http://www.szymanskispil.dk/MateksamenA2013.pdf

Se https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1348797

Der lægges selvfølgelig op til differentiering, men på grund af symmetriforhold er det ikke nødvendigt at bruge andet end almindelig geometri.

Svar:

Det ses umiddelbart, at når x vokser, vokser d også, indtil det punkt hvor stigen, muren og jorden danner en ligebenet retvinklet trekant. Derefter bliver d igen mindre med voksende x, hvilket følger af symmetrigrunde. 

D-max er højden i en ligebenet retvinklet trekant og dermed lig ½ af grundlinjen (stigen), så d-max = 3,5 m.

De geometriske symmetriforhold er måske lettere at se, hvis man i stedet lader AB være fast og lader C variere. Da trekant ABC skal være retvinklet med vinkel ACB som den rette vinkel, følger det, at punktet C ligger på en halvcirkel med liniestykket AB som diameter. Det er da klart, at afstanden d fra C til liniestykket AB er størst mulig, når projektionen fra C på AB går gennem AB's midtpunkt, der også er halvcirklens centrum. Trekanten ABC er da ligesidet, og dermed er værdien af x, der gør d størst mulig, da

        x_max = |AB|/√2 = (7/2)·√2 .

Af udtrykket for d(x) , som skal udledes i opgaven, følger det også umiddelbart. Da d(x) > 0 for 0 < x < 7 , er d(x) størst mulig, hvor funktionens kvadrat (d(x))² er størst mulig, og vi har

        (d(x))² = x²·(49 - x²)/49 ,

der er et 2.-gradspolynomium i x² , hvis graf er en parabel, der vender grenene nedad. Polynomiet har derfor maksimum i toppunktet, der ligger midt mellem de to rødder (i x²) , x² = 0 og x² = 49 . Vi har derfor, at d(x) har maksimum for

        x = x_max = √(49/2) = 7/√2 = (7/2)·√2 .

Jeg glemte, at det var x_d-max man skulle finde.

Svar: X findes som kateten i en ligebenet retvinklet trekant til hypotenusen divideret med √2 = 7/√2.

I #4, 5. linie, skal "ligesidet" selvfølgelig rettes til "ligebenet".