afstand fra punkt til mængde

Som jeg læser opgaven er A givet fra begyndelsen, og holdes fast. Så det er kun en funktion af x. Så det er en funktion fra M ind i R. 

det har du nok ret i. Så jeg skal på egentlig måde antage jeg er givet to punkter x og y i mit metriske rum. Så er:
f(x) = inf{d(x,a)l a tilhørerer A}
f(y) = inf{d(y,a) l a tilhører A}

Og så skal jeg vise, at d(f(x),d(f(y)) ≤ d(x,y)

Men hvordan kan jeg det? 

Ja. det er det du skal gøre, ihvert fald hvis du mener d(f(x),(f(y)) ≤ d(x,y)

Jeg har ikke lige regnet det igennem, men jeg tror, at det er et spørgsmål om at bruge definitionen af f og trekantsuligheden (der er jo ikke rigtig andet at arbejde med). 

hmm ja okay. Det tænkte jeg også, men jeg har endnu ikke fundet ud af hvordan.

Man skal vise, at afstanden mellem billederne d(x₁,A) og d(x₂,A) i R er mindre end eller lig med afstanden mellem argumenterne x₁ og x₂ i M for to vilkårlige elementer x₁ og x₂ i M . Man skal altså vise, at

|d(x₁,A) - d(x₂,A)| ≤ d(x₁,x₂) , for vilkårlige x₁ og x₂ i M

Det er jeg også kommet frem til jvf #2. Men jeg kan ikke se, hvordan. Der kan jo ikke rigtig bruges noget udover de tre egenskaber ved en metrik, hvoraf trekantsuligheden er det eneste, som ville have umiddelbart anvendelse.
Edit: Kan du hinte mig? Er det trekantsuligheden der skal bruges?

#6

Uligheden følger så af trekantuligheden ved at vælge et vilkårligt punkt a i mængden A.

Det forstår jeg ikke. Der gælder for et vilkårligt punkt a i mængden:

d(x1,x2) ≤ d(x1,a) + d(x2,a) ≥ d(x1,A) + d(x2,A)

Men det giver ikke det ønskede. 

Trekantsulighederne er

a + b ≥ c
b + c ≥ a
a + c ≥ b

Heraf følger umiddelbart, at

a ≥ |b - c|
b ≥ |a - c|
c ≥ |a - b|

Tilbage til opgaven. Man vælger et punkt a i A, så at

|d(x₁,A) - d(x₂,A)| ≤ |d(x₁,a) - d(x₂,a)| ,

og det følger af trekantsulighederne, at det sidste er ≤ d(x₁,x₂) .

Jeg forstår ikke: Hvoraf slutter du at der eksisterer et punkt i a, der opfylder dette for alle x. Og så forstår jeg ikke dine numeriske streger. Hvorfor skal de bruges, når det ikke er på forhånd er givet hvilken metrik vi har i M og R? 

#10

Der er ikke tale om at vælge et punkt, der gælder for alle x₁ og x₂. Der er tale om for et givet sæt x₁ og x₂ at vælge et punkt a i A.

Metrikken d i M er en reel funktion, så det må da være tilladeligt at benytte numerisktegn omkring størrelser, hvori metrikken d indgår. Jeg gik ud fra, at R var udstyret med den sædvanlige metrik d_R(x₁,x₂) = |x₁ - x₂| .