Matematik
Øvelse til epsilon delta 1
Vis at 1/(x+1) → 1/4 for x → 3.
Der gælder så at 0 < |x - 3| < δ ⇒ |f(x) - 1/4| < ε for f(x) = 1/(x+1),
Her ser jeg at |f(x) - 1/4| = (1/4)|(x-3)/(x+1)| < ε dermed
|x-3| < (4ε) / |x+1|. Dette skal "ændres" yderligere, hvor jeg nu vurderer udtrykket |x-3| mht. |x+1| med antagelse af δ≤1. Der fås nu
|x-3| < 1 ⇒ 3 < x + 1 < 5 eller (4ε)/5 < (4ε)/(x + 1) < (4ε)/3. Dermed fås
|x-3| < (4ε)/5 ≤ (4ε) / |x+1|.
Her definerer jeg δ = min{1, (4ε)/5}.
Nu kan vi vise at den eksisterer; lad ε > 0 være givet og lad δ = min{1, (4ε)/5}, hermed opfyldt.
Men facitten siger, at det skal give δ = min{1, 12ε}, det kan jeg ikke se hvorfor.
Svar #1
06. juni 2013 af Andersen11 (Slettet)
Når du ganger over, får man
|x-3| < (4ε) * |x+1|
og dermed
3 - 4ε < x(1+4ε) ∧ x(1-4ε) < 3 + 4ε
Svar #2
06. juni 2013 af peter lind
En sætning som
Der gælder så at 0 < |x - 3| < δ ⇒ |f(x) - 1/4| < ε for f(x) = 1/(x+1)
er noget sludder. Du springer frem og tilbage mellem hvad der skal vises og hvad du faktisk har, hvilket gør det besværligt at læse
|x-3|< 1 <=> 2 < x < 4 =>3< |x+1|
|f(x)-1/4)| = |x-3|/(4*|x+1|)
Der gælder så at |x-3|/(4*3) > |x-3|/(4*|x+1|) vil uligheden holde så vælg δ <12 ε idet
|f(x)-1/4)| < |x-3|/(4*|x+1|)< |x-3|/12 < 12ε/12 = ε
Skriv et svar til: Øvelse til epsilon delta 1
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.