Herons formel!

Det simpleste bevis jeg kan komme på er at anvende cosinusrelationen, men eftersom dette ikke er kendt stof i folkeskolen skal jeg afholde mig fra en nærmere beskrivelse.

Et rent algebraisk bevis kan forløbe som nedenfor. Det er ret langt, men involverer ikke andet end Pythagoras sætning og simpel algebra som i burde være bekendt med.

Betragt en vilkårlig trekant med vinkler A, B, C og tilsvarende sider a,b,c (tegn den).

En trekant har tre højder. Mindst een af dem har fodpunkt indenfor trekanten. Lad h betegne længden af denne højde. Vi navngiver nu den side, på hvilken højden h har fodpunkt H, med c. Dette er blot en konvention; det er aldeles ligegyldigt om man kalder denne side for a,b eller c.

Treakantens areal, A, er nu

A = ½ch

Det ses at vi må have udtrykt h ved a,b og c, thi h er ukendt.

Som nævnt har højden h fodpunkt H på siden c. Det betyder, at den deler siden c i to stykker. Disse stykker er AH og HB. Lad os kalde sidelængderne |AH|=q og |BH| = p. Altså gælder

c = p+q

fordi c = |AB| = |AH|+|HB| = p + q.

Tegn situationen ind på din trekant. Du vil se der fremkommer 2 retvinklede trekanter BHC og AHC. Pythagoras anvendt på disse giver

h^2 + p^2 = a^2 (1)

og

h^2 + q^2 = b^2 (2)

Vi har endvidere

c = p+q <=>

q = c-p =>

q^2 = (c-p)^2 = c^2-2cp+p^2 (3)

Addition af h^2 på begge sider af giver

h^2 + q^2 = h^2+c^2-2cp+p^2 (4)

Vi bemærker nu at venstresiden af (4) ifølge (2) er lig b^2. Ligeledes bemærker vi at leddene h^2+p^2, der indgår på højresiden af (4), ifølge (1) er lig a^2. Ergo er (4) ensbetydende med

b^2 = a^2-2cp+c^2 <=>

p = (a^2+c^2-b^2)/(2c) (5)

Ifølge (1) er

h^2 = a^2-p^2

Indsættes (5) heri fås

h^2 = a^2-p^2 =

(a+p)(a-p) =
[a+(a^2+c^2-b^2)/(2c)][a-(a^2+c^2-b^2)/(2c)] =
(2ac+a^2+c^2-b^2)(2ac-a^2-c^2+b^2)/(4c^2) =
((a+c)^2-b^2)(b^2-(a-c)^2)/(4c^2) =
(a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)/(4c^2) (6)

Vi indfører nu størrelsen s defineret som trekantens halve omkreds

s = ½(a+b+c)

Heraf følger specielt

2s = a+b+c (7)
2(s-a) = b+c-a (8)
2(s-b) = a-b+c (9)
2(s-c) = a+b-c (10)

Dernæst indsættes (7)-(10) i (6) hvilket giver

h^2 = 2s*2(s-a)*2(2-b)*2(s-c)/(4c^2) <=>
h^2 = 4s(s-a)(s-b)(s-c)/c^2 =>
h = 2sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))/c

Da nu A=½ch fås slutteligt

A = ½ch <=>
A = ½c[2sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))/c] <=>
A = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))

Tusind tak!
Det vil jeg prøve at studere nærmere!
Sin, Cos og Tan har jeg dog lært mig selv, så hvis dette bevis er meget enklere, så kan jeg nok også finde ud af det! Endnu engang tusind tak for hjælpen!

http://en.wikipedia.org/wiki/Heron's_formula