Tagent ligning

Hvis du kender centrums koordinater og et punkt P på cirkelperiferien,
så kan du finde en normalvektor til tangenten i punktet P,
hvorefter tangentens ligning kan skrives op


Eksempel:
          C(-6,3) og P(-3,4)
En normalvektor til tangenten
          n = CP = [-3 -(-6), 4-3] = [3, 1]
Da P ∈ t fås ligningen for t
           3(x+3) + 1(y-4) = 0

         cirkelligning
                                                                    (x-a)•(x-a) + (y-b)•(y-b) = r²

tangentligningen i P_o(x_o,y_o)
er
                                                                    (x_o-a)•(x-a) + (y_o-b)•(y-b) = r²

.......................

i ovenstående eksempel
haves

         cirkelligning
                                                                    (x+6)•(x+6) + (y-3)•(y-3) = 10

tangentligningen i P_o(x_o,y_o)
er
                                                                    (-3+6)•(x+6) + (4-3)•(y-3) =10

                                                                    3•(x+6) + (y-3) =10

                                                                    3x + 18 + y - 3 = 10

                                                                    3x + y + 5 = 0
                                 eller
                                                                    y = -3x - 5

detaljer  uden direkte relation:
 

eller med direkte relation:
 

I havde C(-6, 3)  (x,y) så skal man så bare sætte -6 ind på x's plads og 3 ind på a's plads?

#5

I ligningerne i #2 er C(a,b) cirklens centrum mens P(x₀,y₀) er et punkt på cirklen, hvor tangenten til cirklen ønskes bestemt.

Man benytter her, at vektoren CP er en normalvektor til tangenten, og tangenten skal gå gennem punktet (x₀,y₀). Som sædvanlig er (x,y) et vilkårligt punkt på tangenten, dvs de variable x og y i tangentligningen. Da

CP = [x₀ - a ; y₀ - b]

er tangentligningen da

(x₀ - a) · (x - x₀) + (y₀ - b) · (y - y₀) = 0 ,

hvilket så kan skrives

(x₀ - a) · (x -a + a - x₀) + (y₀ - b) · (y - b + b - y₀) = 0 , eller

(x₀ - a) · (x -a) - (x₀ -a)² + (y₀ - b) · (y - b) - (y₀ -b)² = 0 , og dermed

(x₀ - a) · (x -a) + (y₀ - b) · (y - b) = (x₀ -a)² + (y₀ -b)² = r² ,

idet punktet (x₀,y₀) ligger på cirklen.