Matematik

gennemsnit af sum af stokastisk variabel

01. august 2013 af Mathematica (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

I min bog står, at gennemsnittet af en sum af stokastiske variable er lineært:

E(X+Y) = E(X) + E(Y)

Jeg er ikke helt sikker på, hvordan man beviser dette, men det er primært, fordi jeg ikke helt forstår notationen X+Y.
X og Y er jo en skrivemåde for at vi har en fordelingsfunktion, der til givne x og y tilordner en sandsynlighed.

For mig at se gælder det om, at finde den nye fordelingsfunktion for Z = X + Y og udregne dens gennemsnit. Jeg kan vist ikke tænke så meget, men jeg tænker, at sandsynligheden for z er lig p(Z=z)=∑P(X=k)P(Y=z-k), hvor summen løber over alle k, dvs. en foldning (tror jeg nok det hedder? - ihvertfald i integralterminologi). Men hvorfra viser man så egenskaben ved E(Z)? Min bog siger beviset er trivielt, så jeg har nok misforstået noget.

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. august 2013 af peter lind

E står normalt for middelværdien ikke for gennemsnittet. Middelværdien er defineret ved ∑x_i*p_i hvor pi er sandsynligheden for xi. For summen af de 2 stokastiske variable får du E(X+Y) = ∑p_ix_i+q_iy_i = ∑p_ix_i+∑q_ix_i = E(X)+E(Y). Hvis du virkelig vil have gennemsnittet skal du blot erstatte p_i og q_i med 1/n hvor n er antal observationer

Svar #2
03. august 2013 af Mathematica (Slettet)

Jeg forstår ikke helt E(X+Y) = ∑pixi+qiyi = ∑pixi+∑qixi
Burde man ikke have dobbeltsum. Du vil jo for hver gang du har X=x_j og Y=y_i gerne vægte dette med en sandsynlighed:
P(X=y_i, X=xj)
Men ligefedt, for jeg tror godt jeg har beviset (se vedhæftede). Undervejs bruges at:
∑_kP(X=x_j,Y=y_k)=P(X=x_j)
Jeg kan godt se det gælder, hvis nu X og Y er uafhængige dvs. at:
P(X=xj,Y=yk)=P(X=xj)P(y=yj)
Men gælder det også generelt for:
P(X=xj,Y=yk)=P(X=xj l Y=yj)P(y=yj)
?

Vedhæftet fil:middelværdi.png

Brugbart svar (0)

Svar #3
03. august 2013 af peter lind

Jo. Det du skriver er bedre end mit og det mellemste holder også hvis variablene ikke er stokastisk uafhængig, hvad jeg ikke tænkte på da jeg skrev besvarelsen. Den første sum i den anden linje er pr. definition E(x) og den anden er E(y)

Brugbart svar (0)

Svar #4
07. august 2013 af Stats

Bevis for E( X + Y ).

$E(X+Y)=\sum_{x\in U_x}\sum_{y\in U_y}(x+y-(\mu_x+\mu_y))\cdot f(x,y)$

$=\sum_{x\in U_x}\sum_{y\in U_y}((x-\mu)_x+(y-\mu_y))\cdot f(x,y)$

$=\sum_{x\in U_x}\sum_{y\in U_y}((x-\mu_x)\cdot f(x,y)+\sum_{y\in U_y}\sum_{x\in U_x}(y-\mu_y)\cdot f(x,y)$

$=\sum_{x\in U_x}(x-\mu_x)\sum_{y\in U_y}f(x,y)+\sum_{y\in U_y}(y-\mu_y)\sum_{x\in U_x}f(x,y)$

$=\sum_{x\in U_x}(x-\mu_x)g(x)+\sum_{y\in U_y}(y-\mu_y)h(y)$

$=E(X)+E(Y)$

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (0)

Svar #5
08. august 2013 af MariaCalc (Slettet)

Er X,Y SV på (Ω,A,P) så er X+Y en SV på (Ω,A,P) og du har

E(X+Y)=∫(X+Y)dP=∫XdP+∫YdP=EX+EY

som der defineret når middelværdien for X og Y er defineret.

Skriv et svar til: gennemsnit af sum af stokastisk variabel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.