matematik differentialligning

Opgave 3 – 25 point
1. Klassificer følgende differentialligning og forklar hvordan den kan løses. dy/dx+cos(x)y(x) = cos(x)(1+sin(x)) ,  x ∈ R
2. Bestem samtlige løsninger til differentialligningen.
3. Bestem den løsning, som opfylder begyndelsesbetingelsen y(0) = 5

Benyt løsningsmodellen for den lineære første ordens differentialligning

y '  =  g(x)·y + h(x)

Men jeg er i tvivljeg får givet ligningen dy/dx+cos(x)y(x) = cos(x)(1+sin(x)) ,  x ∈ R , hvordan ved jeg hvilken der er min G(x) og h(x) ?

Sæt

#3

Skriv ligningen på formen, hvor dy/dx er isoleret på venstre side:

dy/dx = -cos(x)·y(x) + cos(x)·(1+sin(x))

Heraf aflæser man så funktionerne som vist i #4.

Den generelle løsning til diffferentialligningen i #2 er

y(x) = e^G(x) · ( ∫ e^-G(x) · h(x) dx + c ) , hvor

G(x) = ∫ g(x) dx

Hvis man indfører substitutionen

u(x) = 1 + sin(x) - y(x) ,

kan den fremkomne differentialligning i u(x) løses ved separation af de variable.

mange tak, jeg skal lige være sikker på at jeg har forstået det rigtigt. Dvs.når jeg skal finde samtlige løsninger for differentialligningen,ville den blive således: y= e^-sin(x)+c * integral ( e ^sin(x)+c  * (1+sin x)*cos x) ?

#7

Nej, det er ikke korrekt. Den vilkårlige konstant c indgår ikke i G(x). Genlæs svaret i #5.

Ville det sige at samtlige løsninger til differentialligningen er : y= e^-sin(x) * integral ( e ^sin(x)  * (1+sin x)*cos x) +c ? eller skal jeg integrere den sidste del?

#9

Man kan beregne løsningen ved at indsætte i løsningsformlen, eller ved at løse ligningen ved separation af de variable.

g(x) = -cos(x) , G(x) = -sin(x) , h(x) = cos(x)·(1 + sin(x)) .

Den færdige løsning skal integreres færdig.

y= e^-sin(x) * integral ( e ^sin(x)  * (1+sin x)*cos x) +c ). Men man kan ikke integrere den sidste del. Hvad mener du med separation af variable?

#11

Jo, man kan godt integrere den sidste del. Benyt substitutionen t = sin(x) , dt = cos(x) dx .

Opgaven kan også løses ved separation af de variable, som nævnt i #6. Sætter man 

u(x) = 1 + sin(x) - y(x)

har man

u'(x) = cos(x) - y'(x) 

       = cos(x) - cos(x)·(1 + sin(x) - y(x))

      = -cos(x)·(u(x) - 1) ,

og dermed

(u - 1)' = -cos(x)·(u-1) , eller

(u-1)' / (u-1) = -cos(x) , 

hvorfor

ln(u(x)-1) = -sin(x) + c ,

og dermed

u(x) - 1 = k·e^-sin(x) ,

og til sidst

y(x) = sin(x) - (u-1) = sin(x) + k'·e^-sin(x)

Men hvorfor er det k´ i den nederste linje #12, ville det sige at samtlige løsninger er y(x) = sin(x) + k* e^-sin(x)  

Er det også det resultat jeg skal nå frem til hvis jeg skal integrere den sidste del, via substition? Men skal jeg ikke sætte x=0 og y=0 for at finde k?

#13

Jeg benyttede k' for at markere, at det er en anden konstant, en den, der forekommer i ligningen før.

#14

Ja, man skulle gerne nå frem til den samme generelle løsning, hvad enten man bruger panserformlen eller løser ved separation af de variable.

I spm 3. skal man finde den bestemte løsning, for hvilken det gælder, at y(0) = 5. Man bestemmer da den værdi af k', for hvilken dette er opfyldt.

Mange Mange tak for hjælpen :-) I spm 3. hvor man finde den bestemte løsning, for hvilken det gælder, at y(0) = 5. kan det så passe at den værdi af k' =5 så det er opfyldt y(0)=5 altså x=0 og y=5 ? eller er det forkert?

For at finde alle samtlige løsinger skal jeg så ikke finde k´ når y=0 og x=0, eller er dette ikke nødvendigt?   y(x) = sin(x) + k´ * e-sin(x)

#16

Ja. Man skal finde den værdi af konstanten, for hvilken y(0) = 5 . Man indsætter x = 0 og løser, så y = 5.

når jeg gør det  får jeg k' =5 kan det passe? For at finde alle samtlige løsinger skal jeg så ikke finde k´ når y=0 og x=0, eller er dette ikke nødvendigt?   y(x) = sin(x) + k´ * e-sin(x)

#19

Samtlige løsninger har formen

y(x) = sin(x) + k'·e^-sin(x)

hvor k' er en vilkårlig konstant.

Det er korrekt, at for x = 0 er y(0) = k' , så den specielle løsning, for hvilken y(0) = 5 , er løsningen, der fremkommer ved at sætte k' = 5 .