hvordan man viser at y''+ay'+by=0 er en lineær differentialligning

Antag at du har 2 løsninger y₁ og y₂ til differentialligningen altså at y_i''+ay_i+by_i = 0. Definer y = k*y₁+m*y₂..k 0g m er vilkårlige reelle tal Vis ved indsættelse i differentialligningen at y er en løsning

jeg kan godt følge tanken om at jeg kan antage at jeg har 2 løsninger og ligge dem sammen og gange med reelle konstanter må give mig en tredje løsning men kan ikke lige se hvordan jeg kan vise at den nye y er en løsning ved indsætning. altså kan ikke se hvordan jeg kan vise at den vil være lig 0 ?? 

men mange tak for besvarelsen jeg sætter meget stor pris på det :)

 

Indsat får du

(k*y₁+m*y₂)''+a(k*y₁+m*y₂)'+c(k*y₁+m*y₂) som du skal vise bliver 0. Brug regneregler for differentiation af sum og konstant gange funktion til at adskille y₁ og y₂. Brug til slut at y₁ og y₂ er løsninger til differentialligningen

så jeg skal i den her retning ?? 

(ky₁)''+(my₂)''+a(ky₁)'+a(my₂)'+b(ky₁)+b(my₂)=0

k(y₁)''+m(y₂)''+ak(y₁)'+am(y₂)'+bk(y₁)+bm(y₂)=0

eller misforstår jeg ?

 

 

 

Det er korrekt bortset fra at du ikke skal sætte udtrykkene = 0. Det ved du jo ikke endnu om det holder. Til gengæld skal du sætte lighedsdstegn  mellem udtrykken altså

(k*y₁+m*y₂)''+a(k*y₁+m*y₂)'+c(k*y₁+m*y₂)=(ky₁)''+(my₂)''+a(ky₁)'+a(my₂)'+b(ky₁)+b(my₂) = k(y₁)''+m(y₂)''+ak(y₁)'+am(y₂)'+bk(y₁)+bm(y₂)

Derefter samler du led med y₁ for sig og med y₂ for sig

ahh ok så det bliver

(k*y₁+m*y₂)''+a(k*y₁+m*y₂)'+b(k*y₁+m*y₂)=(ky₁)''+(my₂)''+a(ky₁)'+a(my₂)'+b(ky₁)+b(my₂) = k(y₁)''+m(y₂)''+ak(y₁)'+am(y₂)'+bk(y₁)+bm(y₂)=k(y₁)''+ak(y₁)'+bk(y₁)+m(y₂)''+am(y₂)'+bm(y₂)

så her bruger jeg at både a,b,k og m er reelle konstanter og derfor?

=k(y₁)''+a(y₁)'+b(y₁)+m(y₂)''+a(y₂)'+b(y₂)

hvis det er rigtigt så skal jeg bare af med det tilbage værende k og m for så kan jeg bruge at vi antog at y₁ og y₂ er løsninger?

Du har glemt nogle k'er og m'er flere steder og i flere udtryk. Den sidste linje bliver

k(y₁)''+k*a(y₁)'+k*b(y₁)+m(y₂)''+m*a(y₂)'+m*b(y₂)

ja det har du da ret i. 

Jeg har dog lidt svært ved at gennemskue hvordan jeg slipper af med de k'er og m'er for at få udtrykket til at ligne 

y''+ay'+by

 

#8

Du skal benytte, at hver af funktionerne y₁ og y₂ er en løsning til differentialligningen, hvorfor

y₁'' + ay₁' + by₁ = 0

og tilsvarende for y₂ .

Så gælder der jo

k·(y₁'' + ay₁' + by₁) = 0 og

m·(y₂'' + ay₂' + by₂) = 0 ,

og dermed

k·(y₁'' + ay₁' + by₁) + m·(y₂'' + ay₂' + by₂) = 0,

der let omordnes til

(k·y₁'' + m·y₂'') + a·(k·y₁' + m·y₂') + b·(k·y₁ + m·y₂) = 0, eller

(k·y₁ + m·y₂)'' + a·(k·y₁ + m·y₂)' + b·(k·y₁ + m·y₂) = 0

Du kan sætte k og m ud foran en parentes

så står jeg med

k(y₁''+ay₁'+by₁)+m(y₂''+ay₂'+by₂)

og

y₁''+ay₁'+by₁=0 og samme for y₂ så

k*0+m*0=0

er det korrekt forstået?

mange mange tak til jer alle og især til Peter Lind for at bruge så lang tid på at prøve at forklare mig det :)