definition på vektor

Det kommer helt an på, hvor avanceret du ønsker det.

Et vektorrum V over et legeme L er en ikke-tom mængde, hvis elementer opfylder en lang række betingelser, der bl.a. knytter elementerne i V sammen med tallene i legemet L. Når disse betingelser er opfyldt, kaldes elementerne i V for vektorer i V.

jeg har altid synes, der har været en mærkelig pædagogik omkring vektorer. For mig har mængden af vektorer i f.eks. 2 dimensioner altid bare været mængden af talpar (a,b), som kan formes. Disse talpar kan på ækvivalent vis repræsenteres ved en længde og en vinkel i forhold til x-aksen (vinkel og længde er sådan set bare et andet koordinatsystem at repræsentere den i), så deraf kommer nok din definition.
edit: og så skal vektorer opfylde forskellige regneregler, før man formelt må kalde dem vektorer. I henhold til #1, kan du jo kigge på http://da.wikipedia.org/wiki/Vektorrum

#2

Det, du nævner, er et eksempel på et 2-dimensionalt vektorrum over de reelle tals legeme (R²,R) .

ja, som Andersen siger, findes der andre eksempler på vektorer end talpar, men hvor det i stedet er for eksempel funktioner. Men du bør klare dig fint med den idé, at det bare er talpar i gymnasiet.

Det helt elementære vektorbegreb knytter sig til et orienteret linjestykke  med begyndelsespunkt A og endepunkt B. Er to orienterede linjestykker  og  ensrettede og lge lange, kaldes de ækvivalente og skrives        .

Når  er et givet orienteret linjestykke, er mængden  af orienterede linjestykker ækvivalent med

                        .

Bemærk, hvornår vektorpilen optræder.

#5

Dermed er der indført en ækvivalensrelation i mængden af orienterede liniestykker (i planen eller i rummet), og der er dermed lagt op til at betragte ækvivalensklasserne for denne ækvivalensrelation.

Vektoren AB er med andre ord den ækvivalensklasse, der indeholder det orienterede liniestykke AB .

Se eventuelt denne video fra FriViden.dk

[ LINK ]

Her er vi "nede på jorden" igen :-)

Videoen kan godt give det indtryk, at koordinatsystemet er udangspunkt for definition af vektorer. Det er det ikke.

Man må skelne mellem beskrivelse og definition. Videoen beskriver vektorer.

I Ranke Madsens bog benyttes definitionen, der er skitseret i #5. Den fungerer i vore normale euklidiske rum: Plan (2-dimensionalt) og rum (3-dimensionalt). Senere, typisk på universitetsniveau, udvider man vektorbegrebet med den definition, der er omtalt i #1.

Bemærk, at definitionerne er uafhængige af koordiatsystemet.