Splitte komplex brøk i reel del og imæginær del.

Forlæng brøken med nævnerens kompleks konjugerede for hver af nævnerens to faktorer.

Du hae en regnefejl i nævneren nogenlunde mid i udregningerne.

Du skal beregne (100-ω²)².  Ved beregningen har du  glemt det dobbelte produkt i kvadreringen af den toleddede størelse. du har også en fortegnsfejl på ω⁴

Det hedder Real og Imaginær.

Det drejer sig om brøken

z = (ix+10) / ((ix+1)(ix+100)) , hvor x formodes at være reel,

= (10+ix)(1-ix)(100-ix) / ((1+ix)(1-ix)(100+ix)(100-ix))

= (10+ix)(100-101ix-x²) / ((1+x²)(100²+x²))

= (1000 -1010ix -10x² +100ix -101x² -ix³) / ((1+x²)(100²+x²))

= (1000 -111x² +i(-910x+x³)) / ((1+x²)(100²+x²))

dvs

Re(z) = (1000 -111x² ) / ((1+x²)(100²+x²)) , og

Im(z) = (-910x+x³) / ((1+x²)(100²+x²))

Det er vel + 111x² ???

#4

Der er en fortegnsfejl i #3. Jeg får i stedet

= (1000 -1010ix -10x² +100ix +101x² -ix³) / ((1+x²)(100²+x²))

= (1000 +91x² +i(-910x+x³)) / ((1+x²)(100²+x²))

Øhh... Vi er enig med nævneren..
Men tælleren er jeg ikke helt enig med..
 

(ix+10)(x²-101ix+100) = 

ix³ -((101i²x²))+100ix +10x² - 1010ix + 1000

ix³  -101*(-1)*x² +100ix + 10x² - 1010ix +1000

ix³ +101x² + 100ix+10x² - 1010ix + 1000

ix³ + 111x²-910ix + 1000

Den virker til at være god nok bare lige bortset fra 

#6

Den oprindelige brøk er

z = (ix+10) / ((ix+1)(ix+100))

og brøken forlænges nu med nævnerens kompleks konjugerede, hvorved tælleren i den forlængede brøk bliver

(10 + ix) · (1 - ix) · (100 - ix) = (10 + ix) · (100 -101·ix + (-ix)²)

                                         = (10 + ix) · (100 -101·ix - x²)

                                         = 1000 -1010·ix -10·x² + 100·ix -101·(ix)² -i·x³

                                         = 1000 - 10·x² + 101·x² -910·ix - i·x³

                                         = 1000 + 91·x² + i·(-910x - x³)

Det er pudsigt, som man kan få lidt forskellige resultater, hver gang man prøver.

Vi har

(10 + ix) · (1 - ix) · (100 - ix) = 1/(-i)³ · (x-10i) · (x+i) · (x+100i)

                                         = -i · (x-10i) · (x+i) · (x+100i)

Den forlængede tæller er altså 0 for x = -i , +10i og -100i , og for x = 0 fås værdien -i·(-10i)·i·100i = 1000 .

Betragt nu polynomiet

f(x) = 1000 + 91·x² + i·(-910x - x³) .

Vi har

f(-i) = 1000 -91 -910 +1 = 0

f(10i) = 1000 + 91·(-100) + i·(-910·10i -1000·(-i)) = 1000 -9100 +9100 -1000 = 0

f(-100i) = 1000 + 91·(-10000) + i·(-910·(-100i) - (-100)³·i³) = 1000 -910000 -91000 + 1000000 = 0

og endelig har vi

f(0) = 1000 .

Dermed har vi vist, at de to polynomier -i · (x-10i) · (x+i) · (x+100i) og 1000 + 91·x² + i·(-910x - x³) stemmer overens for 4 forskellige værdier af x, hvorfor de to polynomier er identiske, altså

(10 + ix) · (1 - ix) · (100 - ix) = 1000 + 91·x² + i·(-910x - x³)