Gentagne gange cosinus.

Du løser ligningen cos(x) = x. Husk at din lommeregner bør regne i radianer.

Hvis x ∈ R, vil x1 = cos(x) ∈ [-1; 1],   og x2 = cos(x1) ∈ [ 0,5403; 1] etc.

Så grænseværdien n -> ∞ for cos(cos(.... (x)..)) = 1 må være et godt gæt. Vi skal så bevise at:

1 - cos(cos(xn) < 1- cos(xn)    <=>   cos(cos(xn)) > cos(xn)  for xn ∈ [0,5403; 1] hvilket let ses ved at betragte en enhedscirkel,

Mit bud:

b₀ = cos(b₁)

b₁ = cos(b₂)

b₂ = cos(b₃)

...

b_n = cos(b_n+1). Hvis vi finder middelværdien, får vi

sin(c) = { cos(b_n+1) - cos(b₁) } / {b_n+1 - b₁} = (b_n - b₀)/(b_n+1 - b_n) for c∈]b_n ,b_n+1[. 

Hvis fremgangsmåden er korrekt, ved jeg ikke hvad den næste trin skal være.

Hvis du foretager operationen tilstrækkelig mange gange vil du ende med at lommeregneren viser konstant det samme, så du løser altså ligningen cos(x) = x. Det er ligegyldigt hvilket x du starter med. men det vil gå hurtigere hvis du starter nær ved løsningen. Det er en numerisk metode til at løse nogle specielle ligninger. En bedre metode er Newton-Raphson metoden, som den er en tilnærmelse til. Du kan også sige at du finder et fikspunkt for funktionen

Skal man kun løse cos(x) = x? Jeg troede det var noget med at vise hvad cos(cos(cos(x))) (osv.) giver. Men ellers, siger vi så, at x er et fikspunkt, når cos(x) = x. Sæt f(x) = cos(x) - x.

Benytter vi Newton's metode, har vi

x_n+1 = x_n - f(x_n)/f '(x_n) = (cos(x_n) + x_nsin(x_n))/(sin(x_n) + 1)

Jeg vælger fx. x₀ = 1, så får vi

x₁ = 0.7504, x₂ = 0.73911, .. , x₅ = 0.739085. 

Hvordan svarer dette på spørgsmålet helt præcis?

#5

Det er jo det samme, man når frem til. Som nævnt af Peter Lind ovenfor løser man ligningen cos(x) = x numerisk på denne måde. Man ender med x ≈ 0,739085... 

#6

Jeg er overbevist om det. Hvis jeg læser på grafen af cos(cos(cos(... cos(x) ... ))), giver det det samme resultat. Men jeg forstår bare ikke, at denne opgaveformulering kan forstås på en anderledes måde, som at løse cos(x) = x frem for at bestemme cos(cos(cos(... cos(x) ... ))). Kan du måske forklare/oplyse mig lidt om det? 

Kan man forresten godt sige, at x ≈ 0,739085... for n → ∞? (Jo større n, des bedre giver resultatet).

Det du kommer frem til ved gentagne gange at trykke på cos funktionen med en vilkårlig start værdi er en løsning til ligningen cos(x) = x. Jeg sætter det blot ind i en større sammenhæng med mine kommentarer,

Hvis du skal løse en ligning f(x) = 0 kan det omdannes til at finde fikspunktet for en anden funktion g(x). g(x) kan dannes på mange måder. Hvis du adderer x på begge sider af ligningen får du f(x) +x= x så du nu skal finde fikspunktet  for funktionen g(x) = f(x)+x. Du kan også i stedet addere k*x så du får f(x)+ k*x = k*x <=> f(x)/k+x = x så nu får du g(x)=f(x)/k+x- Dette er blot nogle simple muligheder. Newton-Raphson metoden danner et g/x), som er specielt effektiv til at finde fixpunktet

#7

At processen cos(cos(cos(... cos(x) ... ))) konvergerer, betyder jo, at det at trykke på cos-knappen gentagne gange er stabilt omkring løsningen til ligningen cos(x) = x. 

Nu betyder cosⁿ(x) normalt (cos(x))ⁿ , så lad os her definere

cos_(n)(x) = cos(cos(...(cos(x))) , hvor funktionen cos er itereret n gange. Det ovenstående viser såm at

cos_(n)(x) →  0,739085... for n → ∞ .