opgave

Tag integralet af f(x) med nul som nedre grænse og 1 som øvre grænse.

#1
 

Kan du forklare det på en anden måde, jeg  forstår det nemlig ikke.. :/

Integrér funktionen fra 0 til 1.

A = ∫₀¹ f(x) dx

A = ∫₀1 f(x) dx 

Jeg kan virkelig ikke komme videre :S

A = ∫₀¹ x³ dx

For at regne integralet ud skal du starte med at finde en stamfunktion til f(x). Den kan vi kalde F(x). Du indsætter derefter den øvre grænse i F(x) og ligeledes med den nedre værdi, og så trækker du dem fra hinanden. Altså generelt gælder:

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

b er 1  og a er 0 ? 

#7   

           Ja

…du har lige beregnet ubestemte integraler af denne type, hvor ovenstående er noget lettere!
se
https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1383058

…lærer du ikke ved gennemførelse af opgaverne - eller er det blot blind copy-paste?

#7

Ja b=1 og a=0.

Jeg får arealet til 1/4.

#8
Jeg må indrømme at jeg har meget svært ved disse typer af opgaver. Jeg har dog forstået lidt af det - derfor laver jeg andre opgaver magen til de opgaver du hjalp mig med .. :)

A = ∫_b^a f(x)dx ⇒ F(b) - F(a)

A = ∫₀¹ (x³)dx = [¹/₄•x⁴]₀¹ =  F(1) - F(0) = (¹/₄•1⁴) - (¹/₄•0⁴) = ¹/₄

Hvor kommer 1/4 fra ?

f(x) = x³

Du ved, at når man differentierer x opløftet til en eller anden potens, så hiver man potensen ned foran og trækker 1 fra potensen. Når man skal finde en stamfunktion, skal man i princippet gøre det modsatte. I det konkrete tilfælde starter vi med at lægge 1 til potensen (men vi skal huske senere at "justere" faktoren foran). Vi får

F(x) = x⁴

Vi prøver nu at differentiere for at kontrollere, om vi får det rigtige:

F'(x) = 4 x³

Dette er næsten korrekt, hvis det ikke lige var for det 4-tal, der nu står foran. Vores næste gæt er derfor

F(x) = 1/4 x⁴

Hvis vi differentierer, får vi

F'(x) = 1/4 * 4 * x³ = x³

Dette giver det rigtige, så F(x) = 1/4 x⁴ er en stamfunktion til f(x).

(Samtlige stamfunktioner vil være F(x) = 1/4 x⁴ + k )

#12  
              F(x)  =  ∫x³dx = (1/4)x⁴ + k

              ₀∫¹x³dx  = [(1/4)x⁴]₀¹ = (1/4)•1⁴ - (1/4)•0⁴  = (1/4)•1 - 0 = (1/4)