Areal af tetraedre

Benyt vektorregning til at beregne arealerne af de fire overfladetrekanter.

Opstil udtrykket for rumfanget V = (1/3)·h·G . G er arealet af trekanten i grundfladen, mens h er tetraederets højde.

Benyt også, at

cos(π/6) = (√3)/2 og sin(π/6) = 1/2 .

De to parametre er α og u, ikke a og u.

 Hele opgaven lyder:

Vi ser på en familie af tetraedre, som er defineret ved hjælp af to parametre a og u således:

tetraedre(α,u) = tetraedre((0, 0, 0),a(α),b(α),c(α,u)) 

hvor

a(α) = (α*cos(π/6),α*sin(π/6), 0) 
b(α) = (α*cos(π/6),α*sin(π/6), 0) 
c(α,u) = (2/3*α*cos(π/6), 0,u) 

Antag, at det totale overfladeareal af tetraedre(α,u) er fast og er givet ved

Areal(?(α,u)) = 1 

Bestem - under den betingelse - de to parameterværdier α og u således at rumfanget af tetraedre(α,u) er størst
muligt.

Hvordan løses dette, og hvordan benyttes det at 

cos(π/6) = (√3)/2 og sin(π/6) = 1/2 .

??

#2

Du gør dit spørgsmål helt uoverskueligt ved at gentage al teksten fra #0 og #1. Henvis i stedet til et indlæg ved at benytte notationen #n.

Der er givet fire punkter i rummet, der danner hjørnerne i et tetraeder. De afgrænser 3 ad gangen de fire flader, der er trekanter. Man kan benytte vektorregning til at beregne arealerne af disse fire trekanter.

Tetraederets højde er parameteren u, så tetraederets rumfang beregnes ved at benytte

V = (1/3)·u·G ,

hvor G er arealet af trekanten i xy-planen.

Ved den funktion for rumfaanget får man, hvad jag kan se, to ubekendte, og herudover er a stadig ubekendt?

#4

Man får udtrykt G ved α (ikke ved a), og rumfanget er da

V = (1/3)·u·G(α) .

Man benytter kravet om overfladearealet A = 1 til at isolere en af de to parametre α og u og kan så finde maksimum for funktionen V(α) .

Der må være en eller flere fortegnsfejl  i dit udtryk for punkternes koordinater, da dit udtryk for a og b giver samme punkt.

Der er fortegnsfejl i udtrykket for b (den skal hedde -sin(π/6).

Hvordan opstilles udtrykket for det totale overfladeareal af tetraedret?

#6

Beregn arealerne af de fire trekanter OAB, OAC, OBC, og ABC.

Jeg kan nu finde volmenet udtrykt ved alpha, men da både volumenet og alpha er ubekendte, ved jeg ikke hvordan jeg skal komme videre herfra?

#8

Man benytter betingelsen for overfladearealet A = 1 til at eliminere den ene parameter u . Derved udtrykkes voluminet som en funktion V(α) , og man skal så finde maksimum for funktionen V(α) .