integration ved substitution

1) Benyt

1/tan(x) = cos(x)/sin(x)

og substitutionen

u = sin(x) , du = cos(x) dx .

2) Benyt

∫ (x+1)/(x+2) dx = ∫ (x+2 -1)/(x+2) dx = ∫ (1 - 1/(x+2)) dx = x - ln(x+2) + k

Hvis du laver substitution, skal du substituere helt; man kan ikke både have x og t i det substituerede integral.

Jeg prøver. Tak. - Vender tilbage med svar hurtigt muligt.

Jeg ved ikke, om jeg har gjort det rigtigt, men jeg kan ikke helt forstå det, og er derfor gået i stå:

1)

∫2/tan(x)dx=∫2cos(x)/sin(x)dx
=∫2du/u dx

u = sin(x) , du = cos(x) dx .

du/dx=-cos(x), ddu/dx=-sin(x)

dx=1/-cos(x)dt, dx=1/-sin(x)dt

Er dette korrekt?

2) Den skal løses ved substitution, det siger opgaven.

#3

1) Du skal ikke have en blanding af x og u i det substituerede integral; det er jo noget vrøvl med både du og dx i integralet.

Man har

∫ 1/tan(x) dx = ∫ cos(x)/sin(x) dx = ∫ (1/sin(x)) d(sin(x)) = ln(|sin(x)|) + k

2) Så prøv selv med substitution, t = x+2 , dt = dx , x+1 = t-1 , så

∫ (x+1)/(x+2) dx = ∫ (t-1)/t dt = ∫ (1 - (1/t)) dt = t - ln(|t|) + k = x+2 - ln(|x+2|) + k

Mange tak. Jeg tror, at jeg forstår det nu, og får det til at gå op. Jeg får:

1)

2*ln(sin(x))+k

2) Er der ikke en fejl?

∫ (x+1)/(x+2) dx = ∫ (t-1)/t dt = ∫ (1 - (1/t)) dt = t - ln(|t|) + k = x+2 - ln(|x+2|) + k

Burde det ikke være 

∫ (x+1)/(x+2) dx = ∫ (t-1)/t dt = ∫ (1 - (1/t)) dt = x - ln(|t|) + k = x - ln(|x+2|) + k

- Men nu vil jeg heller ikke prøve, og gøre mig for klog på noget, som jeg ikke er ekspert i.

#5

Nej. ∫ 1 dt er jo t, ikke x , selv om de ved substitutionen begge er stamfunktioner.

De to resultater, x+2 - ln(|x+2|) + k og x - ln(|x+2|) + k repræsenterer samme familie af stamfunktioner.

Okay, tak. :)