Matematik
Kræmmerhus, vinkel
Hej skal bruge hjælp til en opgave:)
En klasse med matematikglade elever får, ved en juleafslutning, hver udleveret et stykke kraftigt papir med en cirkel med en radius på 10 cm. Deres nørdede matematiklærer medbringer også sakse og tape, og udfordrer nu eleverne til at finde ud af hvordan man skal lave et kræmmerhus med det størst mulige rumfang. Man skal naturligvis klippe to linjestykker fra cirkelperiferien ind til centrum, folde papiret og tape sammen langs disse kanter. Derved får man nu sin kegle (kræmmerhus). Læreren er i julehumør, og udlover en stor pose pebernødder til den elev der hurtigst kan finde ud af hvor stor en vinkel der skal klippes ud, for at kræmmerhuset får det størst mulige rumfang!
har selv prøvet, men kan ikke komme videre :(
man finder r og h.
dernæst putter det ind i formlen for volumen af en kegle
diffentierer og sætter lig nul og finder max
men når jeg differentierer giver det 0
kan i hjælpe med med opgaven og metoden???
Svar #1
01. oktober 2013 af peter lind
Hvad har du gjort ? Du skal være opmærksom på at radius og højde er afhængig af hvilken vinkel du klipper.
Klipper du vinklen v ud vil opkredsen i den åbne ende af keglen være omkredsen af den udleverede papir minus det fjernede. Det der fjernes er v*10 cm hvis vinklen er i radianer v*10cm/360º hvis du måler i grader
Svar #2
01. oktober 2013 af zxcvbzvb (Slettet)
Hvis man klipper et "lagkagestykke" med vinklen a ud af cirklen, så vil det have kantlængden rcirkel (= 10 cm), og længden af den krumme side vil være a*rcirkel (hvis a regnes i radianer). Hvis man så folder det sammen til en kegle, så vil sidelængden af keglen så være rcirkel, og grundfladen vil være en cirkel med omkreds a*rcirkel. For at finde radius af denne grundflade, har vi
2π*rkegle = a*rcirkel
<=>
rkegle = a*rcirkel/(2π)
Højden af keglen kan vi finde med pythagoras:
h2 + rkegle2 = rcirkel2
<=>
h = √(rcirkel2 - (a*rcirkel/(2π))2 )
Dette sætter du ind i formlen for rumfanget af en kegle
V = π/3 * h * rkegle2
Denne funktion skal så differentieres med hensyn til a og sættes lig 0.
Svar #3
01. oktober 2013 af mathon
arealet af udklip
π•102 - (π•102•(v/360) = 10•π•rkegle = 10•π•√(102-h2)
π•102(1-(v/360)) = √(102-h2)
10(1-(v/360)) = √(102-h2)
v = (1 - √(100-h2)/10)•360º
Vkegle(h) = (π/3)•h•rkegle2 = (π/3)•h•(100-h2) = (π/3)•(100h - h3)
maksimum kræver
V 'kegle(h) = (π/3)•(100 - 3h2) = 0
dvs
h2 = (100/3)
100 - h2 = 100 - (100/3) = (200/3) som indsat i v = (1 - √(100-h2)/10)•360º
giver
v = (1 - √(200/3)/10)•360º = 66,06º
Kræmmerhuset med størst rumfang fås med udsnitsvinklen 66,06º
Svar #4
01. oktober 2013 af volume (Slettet)
mange tak for jeres hjælp søde mennesker!! fik den nu løst med jeres hjælp! :)
Skriv et svar til: Kræmmerhus, vinkel
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.