Den dobbelt partielle afledede ud fra differentialet

Hver af de tre størrelser er en dobbelt partielt afledet. Samlet sammen får man:

d²f(x,y) = f_xx dx² + f_xy dy dx + f_yy dy²

det går nemmest, hvis du differentierer hver led for sig som et produkt, men jeg har ikke regnet det igennem

der gælder ∂f/∂x = y*e^xy  hvoraf f_xx = y*∂e^xy/∂x = y*x*e^xy

f_xy =  ∂y*e^xy/∂y = e^xy(∂y/∂y) +y*∂e^xy/∂y = ....

Jeg har regnet det efter. De tre afledede er regnet korrekt ud.

#4

Ja, det er jo oplyst i opgaven, at svar (1) er korrekt. Det skyldes, at differentialet er på formen

df = (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy

så man kan aflæse de partielle afledede ∂f/∂x og ∂f/∂y som vist i #3.

Formulerede mig måske ikke tydeligt nok, men det er kun svar (1) der er det rigtige.
altså f_xy = (1+xy)e^xy .

Er der nogle der kan vise hvordan man kommer frem til det med mellemregninger?

#6

Som nævnt er alle de tre afledede korrekt, men måske er det kun f_xy, der i dit pensum kaldes den dobbelt partielle afledede?

Af udtrykket for differentialet

df(x,y) = ye^xy dx + xe^xy dy

aflæser man, at

∂f/∂x = y·e^xy og at ∂f/∂y = x·e^xy

Man kan så beregne ∂²f/∂x∂y på to måder:

∂²f/∂x∂y = ∂/∂y(∂f/∂x) = e^xy + xye^xy = (1+xy)e^xy ,

eller

∂²f/∂x∂y = ∂/∂x(∂f/∂y) = e^xy + yxe^xy = (1+xy)e^xy .

De afledede ∂²f/∂x² og ∂²f/∂y² er også dobbelt partielle afledede.

#7

I vores pensum kaldes de alle sammen dobbelt partielle afledede.

Men kan også se, ud fra de regneregler du har givet mig (tak for det!), at (2) og (3) er forkerte, de giver hhv:

f_xx = y² e^xy og f_{yy =} x² e^xy .

f_xy er jeg kommet frem til vha. produktreglen.

#8

(2) og (3) er korrekte.

Vi ser på

    f_xx =∂(∂f/∂x) /∂x

        = ∂(∂e^xy/∂x) /∂x

        =∂(ye^xy)/∂x       Her er y konstant og vi differentierer en funktion, e^z, af en funktion z=xy.

        =y ∂e^xy/∂x        Konstanten y sættes udenfor differentiationen

        =y (ye^xy)          Igen funktion af funktion

        =y²e^xy

#9

... og som trådstarter siger, passer det jo ikke med forslagene (2) og (3) i #0. Derfor er det kun forslaget (1), der er en dobbelt afledet af funktionen, hvis differential er givet i #0.

#10

Ups, du har ret. Jeg mente ellers, at jeg havde set det grundigt efter. Godt at der er nogen, der ser efter en gang til.

Mvh

Peter Nærum

Hej! Jeg har rigtig svært ved at forstå fremgangsmåden i denne her type opgave. Jeg har indtil videre fundet ∂/∂x og ∂/∂y ved at holde hhv. y og x konstant og jeg har fået:

∂/∂x = y³   og   ∂/∂y = 2yx

men når jeg regner dette ud med maple for at tjekke får jeg  ∂/∂y = 2y(xy+1)+y²x hvilket jeg ikke forstår.

Og hvordan kommer man videre herefter? 

Det må jo være en anden opgave så opret en ny tråd om dette. Vi har ingen mulighed for at besvare spørgsmålet, hvis vi ikke kender opgaven og ikke ved hvad du har gjort

Er hermed gjort :)

https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1395539&goto=1395539#1395539