Matematik
Sammenhæng mellem talfølger
I en geometrisk følge er forholdet mellem to efterfølgende tal konstant.
I en aritmetisk følge er differensen mellem to efterfølgende tal konstant:
G: 1 2 4 8 16 32 ...
A: 0 1 2 3 4 5 6 ...
Produktet af to tal i den geometriske følge, fx 2 og 4, kan bestemmes således: Summen af de to tal i den aritmetiske følge, som står lige under 2 og 4, bestemmes. Dette giver tallet 3. Ovenover 3 i den aritmetiske følge står resulatet af multiplikationen mellem 2 og 4, nemlig 8.
Jeg skal ved hjælp af nutidens notation give en matematisk argumentation for, hvorfor 2 vilkårlige tal fra øverste følge kan multipliceres på omtalte måde.
Jeg starter med at angive et udtryk for det n'te tal i de to følger:
Kaldes den konstante differens mellem to efterfølgende tal d, og sættes starttallet til 1, så er den aritmetiske følge for det n'te givet ved:
A: a, a + d, a + 2d, ..., a + (n — l)d,
Kaldes det konstante forhold mellem to efterfølgende tal f, og sættes starttallet til 1, er den geometriske følge for det n'te tal givet ved:
G: 1, f^(n-(n-1)), f^(n-(n-2)), f^(n-(n-3)) ... f^(n)
Først: Er udtrykkene korrekte udtryk for det n'te tal?
Hvordan viser man så, at det er muligt at multiplicere to tal i den geometriske følge på den beskrevne metode?
Svar #1
03. november 2005 af Epsilon (Slettet)
Lad {g_n} hhv. {a_n} betegne den geometriske hhv. den aritmetiske følge. Dette følger den sædvanlige notation for talfølger.
Vi har
g_0 = 1, g_1 = 2, g_2 = 4, g_3 = 8, ...
a_0 = 0, a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 3, ...
hvoraf vi umiddelbart ser, at
(1) g_n = 2^n, n >= 0
(2) a_n = n, n >= 0
er eksplicitte udtryk for det n'te tal i hver af følgerne. Vis nu ud fra (1) og (2) påstanden i opgaveteksten.
//Epsilon
Svar #2
03. november 2005 af IBM (Slettet)
Først: Du skriver:
(1) g_n = 2^n, n >= 0
Skal man ikke skrive i sammenhæng med udtrykket, at denne kun gælder for g_0=1?
Jeg er ikke sikker på, hvordan påstanden vises, men sammenhængen mellem de to følger ligner noget med en logaritme med basen 2. Jeg prøver:
To tal, n og n, i g_n ønskes multipliceret. Summen af de to ligeunderstående tal i a_n bestemmes:
n + n = 2n
Det i g_n tilhørende resultat af multiplikationen skulle gerne være:
2^n*2^n = 2^2n
Altså sammenhængen mellem a_n og g_n er, at summen af de to ligeunderstående tal i a_n giver den eksponent til 2, som giver resultatet på multiplikationen. Men det synes ikke at være nogen særlig argumentation.
Hvad gør jeg?
Svar #4
03. november 2005 af Epsilon (Slettet)
Hvad mener du med, at det kun gælder for g_0 = 1? Det gælder for ethvert heltal n >= 0 i den anførte geometriske følge {g_n}, at g_n = 2^n. Specielt er
g_0 = 2^0 = 1.
Dog skal du være opmærksom på, at man vel skal vise metodens korrekthed for to vilkårlige tal i den geometriske følge. Devisen i opgaveteksten går jo på at bestemme produktet af to tal i den geometriske følge (ikke nødvendigvis to på hinanden følgende tal i følgen; 2 og 4 er blot valgt som eksempel).
Lad derfor m,n >= 0 være givne heltal. Bemærk, at
g_n = 2^(a_n), n >= 0
Kan du gennemføre argumentet nu?
//Epsilon
Svar #5
03. november 2005 af IBM (Slettet)
Multiplikationen mellem g_n og g_m ønskes udført. Summen af de i den aritmetiske følge nedenunderstående tal bestemmes:
a_n + a_m = a_n+m
Jeg ved så, at sammenhængen mellem den ønskede multiplikation og a_n+m er:
g_n*m = 2^(a_n+m)
Men hvordan kan jeg så videre argumentere for korrektheden af metoden?
Denne form for matematisk argumentation er vidst en helt ny disciplin for mig.
Svar #6
03. november 2005 af Epsilon (Slettet)
Jamen, du står jo praktisk talt på målstregen :-)
For givne heltal m,n >= 0 (ikke nødvendigvis forskellige) har vi
(g_m)*(g_n) = (2^m)*(2^n) = 2^(m+n) = g_(m+n)
som viser, at produktet af det m'te og n'te tal i den geometriske følge {g_n} giver det (m+n)'te tal i følgen. Men da
m+n = a_(m+n) = a_m + a_n,
kommer man netop dertil ved at addere de tilsvarende m'te og n'te tal i den aritmetiske følge. Det er såre simpelt.
//Epsilon
Svar #8
03. november 2005 af Epsilon (Slettet)
(g_m)*(g_n) = (2^m)*(2^n) = 2^(m+n) = g_(m+n) =
g_(a_(m+n)) = g_(a_m + a_n)
Produktet af det m'te tal hhv. n'te tal i den geometriske følge {g_n} er lig det (m+n)'te tal i følgen, hvilket netop er g taget på det (m+n)'te tal i den aritmetiske følge {a_n}, hvortil man kommer ved at addere det m'te og n'te tal i {a_n}.
//Epsilon
Svar #9
04. november 2005 af Epsilon (Slettet)
Næh, såmænd ikke ;)
Man kan eventuelt illustrere operationerne skematisk
g_(m+n)
||
g_(a_(m+n))
↑
| 2^(·)
|
a_(m+n)
Dette er ikke standardnotation, men en nyttig oversigt til at vise, hvad der rent matematisk foregår.
'id' er identitetsafbildningen; den afbildning, som sender et tal over i sig selv.
//Epsilon
Svar #11
05. november 2005 af IBM (Slettet)
"Produktet af det m'te tal hhv. n'te tal i den geometriske følge {g_n} er lig det (m+n)'te tal i følgen, hvilket netop er g taget på det (m+n)'te tal i den aritmetiske følge {a_n}, hvortil man kommer ved at addere det m'te og n'te tal i {a_n}".
Betyder det bare, at det (n+m)’te tal i den geometriske følge må være det korresponderende tal til det tal, der fremkommer ved at addere det n’te og m’te tal i den aritmetiske følge.
Svar #12
05. november 2005 af Epsilon (Slettet)
Ja, sådan kan du fint formulere det.
Et tal i g-følgen er 2 opløftet til det korresponderende tal i a-følgen; det noterede vi os allerede til sidst i #4:
g_n = 2^n = 2^(a_n), n >= 0.
"Diagrammet" i #9 illustrerer skematisk den matematiske procedure, som opgaveteksten beskriver;
For vilkårlige m,n >= 0 finder vi
g_m = 2^m, g_n = 2^n
i følgen {g_n}. Multiplikation af disse giver g_(m+n) = g_(a_(m+n)), hvortil
a_(m+n) = m+n = a_m + a_n
svarer. Så g_(m+n) kan findes ved at addere de til g_m og g_n korresponderende tal, a_m og a_n i følgen {a_n} og så aflæse det til a_(m+n) korresponderende tal g_(a_(m+n)) i følgen {g_n}.
//Epsilon
Skriv et svar til: Sammenhæng mellem talfølger
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.