Matematik
Bestem bredden af retanglet udtrykt ved h?
En funktion f er bestemt ved f(x) = 5 - x^4
Et retangel med højden hvor 0 < h < 5 er placeret som vist på figuren.
a) bestem bredden af retanglet udtrykt ved h, og bestem arealet af retanglet udtrykt ved h
b) bestem hvilken højde rektangel skal have for at være størst mulig. Hvilke x-værdier har hjørnerne i det størst mulige rektangel?
Håber virkelig nogen kan hjælpe, har siddet med dette i et stykke tid :) Tak på forhånd!
Svar #2
11. november 2013 af mathon
a)
h = f(x) = 5 - x4
x = ±4√(5 - h)
rektanglets bredde
B(h) = 2•√(5 - h)
A(h) = 2•√(5 - h)•h
Svar #3
11. november 2013 af mathon
b)
Ekstremum kræver
A '(h) = 2•√(5 - h) + 2h•(-1/(2√(5 - h))) = √(5 - h)(2-h) / (5-h) = 0
dvs
(2-h) = 0 da 0 < h < 5
hvoraf
h = 2
for 0 < h < 2 er A '(h) > 0, hvorfor A(h) er monotont voksende
for 2 < h < 5 er A '(h) < 0, hvorfor A(h) er monotont aftagende
A(h) har derfor maksimum for x = 2
x-værdier for hjørnerne i det størst mulige rektangeler 2
hjørnerne er -2 og 2
Svar #4
11. november 2013 af Andersen11 (Slettet)
#2, #3
For x ≥ 0 er
x = 4√(5-h) ,
hvorfor rektanglets bredde er
B(h) = 2·4√(5-h)
og arealet er da
A(h) = B(h)·h = 2h·4√(5-h)
Ekstremum for 0 < h < 5 kræver så
A '(h) = 0 , dvs
2·(5-h)1/4 - 2·h·(1/4)·(5-h)-3/4 = 0 , eller
(5-h) - h/4 = 0 , eller
h = 4 .
For 0 < h < 4 er A '(h) > 0 , og for 4 < h < 5 er A '(h) < 0 , så A(h) har maksimum for h = 4, og det største areal er A(4) = 8 .
Skriv et svar til: Bestem bredden af retanglet udtrykt ved h?
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.