Problem med differentialligning.

Med x ? og y ? mener du så x' og y' ?

Hvis det er tilfældet.

Differentier den første ligning

Erstat y' med højre side af den anden ligning

isoler y i den første ligning og erstat y i den fremkomne ligning med resultatet

Jeg mener hhv. x prik og y prik. 

Så x'' ( eller x prik, prik)=y' <= fordi man differentierer med hensyn til y? 

Også sætter jeg -x+2y ind og får; x''=-x+2y. 

Isoler y i den første ligning; y=x'(eller prik)-x-t 

Og dette sættes ind i den fremkomne ligning, så jeg får; 

x''=-x+2(x'-x-t) ? 

Er det så den generelle løsning for systemet eller er dette kun første del? 

Det er den anden ordens differentialligning, der bedes om i starten. Du skal nu løse den ligning

Måske kan du sammenligne med nedenstående. Jeg har forsøgt at bestemme x(t) - med forbehold for fejl ...:

Såvidt jeg forstår er udgangspunktet:

I. x' = x+y+t

II. y' = − x + 2 y

Jfr. #1 får du ved differentiation af ligning I: 

x'' = x' + y' + 1. II indsættes nu i I.

x'' = x' + (-x + 2y) + 1. Fra I gælder: 2y = 2(x' - x - t): 

⇒x'' = x' - x + 2(x' - x - t) + 1

⇒ x'' = 3x' - 3x - 2t + 1

- eller: x'' - 3x' + 3x = -2t + 1

Homogen del: x'' - 3x' + 3x = 0. Karakteristisk ligning: r² - 3r + 3 = 0, som har to komplekse rødder: r₁ og r₂: (3±i√3)/2. Løsningen bliver så: x_h = c₁ e^(3+i√3)t/2 + c₂  e^(3-i√3)t/2  - som v.hj.a. Eulers formel bliver til:

x_h = C₁ e^3t/2 cos(√3 t/2) + i C₂ e^3t/2 sin(√3 t/2), hvor C₁ = c₁ + c₂ og C₂ = c₁ - c₂

Gæt: En partikulær løsning må have formen: x_p = a t + b

x'' - 3x' + 3x = -3a + 3at + 3b = -2t + 1

⇒ a = -2/3 og b = -1/3 ⇒ x_p = (-2/3)t - 1/3

Den fuldstændige løsning for x(t): x(t) = x_h + x_p = C₁ e^3t/2 cos(√3 t/2) + i C₂ e^3t/2 sin(√3 t/2) + (-2/3)t - 1/3

Heraf fås y(t): y(t) = x' - x - t.