Differentiabel funktion, kriterier

1) skulle være let at udelukke, da f(1) = 0 .

2) kan man ikke sige noget om

3) 4) 5) og 6) skulle det være muligt at vise.

Jeg kan ikke se hvordan og hvorledes. Kan man få lidt mere uddybbelse :p.

Jeg har store problemmer med sådan type opgaver, og det irritere mig lidt at jeg ikke kan se det. Vil gerne forstå hvordan kan skal "se opgaven an" hvis det giver menning.

Måske spørger jeg forkert. Jeg kommer ikke tættere på realisering af løsning. Jeg forstår ikke hvad der menes med ?

1) f(x) = -x har mindst en løsning

Menes der at man skal se på funktion -x som skærer i f(0)

2) f(x) = 1 har mindst en løsning 

Ok, dette er en ret linje, hvorfor kan ikke sige noget om dette? 

3) f(x) har en positiv størsteværdi i [-10, 10]

Hvordan kan man vises at der er størsteværdi i dette interval. Giver ikke menning for mig, fordi man får jo ikke noget vide om hvornår funktionen aftager og vokser i [-10, 10].

4)f(x) = 0 har mindst 3 løsninger

Hvorfor?

6)f'(x) = 0 har mindst 2 løsninger.

Hvorfor?

Det er fint nok, jeg takker ihvertfald for hjælpen indtil videre. Må bare prøve kigge på opgaven for mig selv, indtil jeg spørger de rigtige spørgsmål. Jeg giver normalt aldrig op men må bare indse at dette er min akillescene. Jeg er ikke kommet en centimeter tættere på et "hvorfor" og det tilter mig gevaldigt.

# 3

 

#3

2) Hvis ligningen f(x) = 1 skal have mindst 1 løsning, skal grafen for f(x) skære eller røre linien med ligningen y = 1 i mindst eet punkt. Men man kan ud fra de givne oplysninger ikke sige noget om størrelsen af de positive funktionsværdier for f(x).

3) , 5), 4) Da f(-1) = f(1) = 0 og da f '(-1) > 0 følger det, at der findes et ξ ∈ ]-1;1[ , hvor f(ξ) > 0 , da f(x) er strengt voksende i både -1 og 1. Det følger også, at der findes et η ∈ ]-1;1[ , hvor f(η) < 0 . Heraf følger, da f(x) er kontinuert, at funktionen må have et positivt maksimum på[-10;10] og et negativt minimum på [-10;10]. Det følger også, at ξ < η , og at der må finder et ψ ∈ ]ξ;η[ , så at f(ψ) = 0 . Da f(-1) = f(1) = 0, har ligningen f(x) = 0 derfor mindst 3 løsninger.

6) Af middelværdisætningen følger så, at der findes et α ∈ ]-1;ψ[ så at

f '(α) = (f(ψ) - f(-1)) / (ψ - (-1)) = 0 ,

og der findes et β ∈ ]ψ;1[ så at

f '(β) = (f(1) - f(ψ)) / (1 - ψ) = 0 ,

dvs ligningen f '(x) = 0 har mindst 2 løsninger.

1) At ligningen f(x) = -x har en løsning betyder, at grafen for f(x) skærer linien med ligningen y = -x i mindst eet punkt.

Hvis grafen for f ikke skærer linien, vil der gælde f(x) < -x eller f(x) > -x for alle x. Men da

f(-1) = 0 < -(-1) = 1 og f(1) = 0 > -1 ,

følger det, at grafen for f(x) må skære linien y = -x i mindst 1 punkt, hvorfor ligningen f(x) = -x har en løsning.

Tusind tak... Det var da rimelig meget data, som jeg lige skal analysere.. 

Mit svar til 1) i #1 skal ignoreres, da jeg havde fejllæst informationen. Benyt i stedet svaret i #6.

Tusind tak.. Præcis det jeg ledte efter. Altså jeg har tegnet grafen som i #4, men kunne ikke rigtig komme til nogen konklusion for alle de forskellige punkter kun ud fra grafen..