Problemer ved Beviset y'=ky seperation af de variable

Har lavet beviset y'=ky ved seperation af de variable. Der skal ses på y>0, y<0 og y=0. 

Skal finde den fuldstændige løsning som er y= c·e^kx det lykkes også¨ved y>0 og y<0. ved y=0 får jeg at

y'=0 som så også er en løsning til væksthastigheden. min spørgsmål er så hvordan argumenterer jeg for at y= c·e^kx er den fuldstændige løsning når y=0 også er en løsning ?   

har vedlagt beviset som jeg har lavet.