Udledning - Wiens lov

Udledningen af Wien's forskydningelov drejer sig om at betragte funktionen

B_λ(T) = (2hc²/λ⁵) · 1/(e^hc/(λkT) - 1)

som funktion af λ . I det væsentlige er det funktionen

B(λ) = a·λ^-5 · 1/(e^b/λ - 1),

og man skal løse ligningen B'(λ) = 0 . Man får da

B'(λ) = -5a·λ^-6 · 1/(e^b/λ - 1) + ab·λ^-7·e^b/λ/(e^b/λ - 1)² 

og ligningen B'(λ) = 0 fører da til ligningen

(b/λ)·e^b/λ/(e^b/λ - 1) = 5 eller

(5 - (b/λ))·e^b/λ = 5

som en ligning i b/λ . Et CAS-værktøj finder hurtigt

b/λ = 4,965114 , dvs

hc/(λkT) = 4,965114

hvoraf man får Wien's forskydningslov

λ_max·T = hc/(4,965114·k)

Hm, jeg kan følge med intil:

og man skal løse ligningen B'(λ) = 0 . Man får da

B'(λ) = -5a·λ^-6 · 1/(e^b/λ - 1) + ab·λ^-7·e^b/λ/(e^b/λ - 1)²

Der giver lommeregneren mig nemlig:
(ab/λ⁷ - 5a/λ⁶) · e^1-b/λ

Hvilket kan omskrives til:
-5a·λ^-6 · e^1-b/λ + ab? λ^-7 

Redigieret:
Eller nej, tror jeg har lavet en tastefejl. 

Nu har jeg prøvet med de rigtige værdier, men jeg kan ikke få den til at give det samme. 
Lommeregneren siger: 
(5a·(e^b/λ -1)·e^-b/λ / λ⁶) + (ab·e^-b/λ / λ⁷)

Jeg kan ikke helt se hvordan du har fået det fremhævede:
B'(λ) = -5a·λ^-6 · 1/(e^b/λ - 1) + ab·λ^-7·e^b/λ/(e^b/λ - 1)²

Jeg har prøvet at indsætte et vilkårligt tal i de to ligninger, men de giver ikke det samme tal, hvilket er meget mærkeligt.

#3

Det drejer sig om at differentiere funktionen

B(λ) = a·λ^-5 · 1/(e^b/λ - 1)

Jeg benytter produktreglen

B'(λ) = -5·a·λ^-6 · 1/(e^b/λ - 1) + a·λ^-5 · (-1)/(e^b/λ - 1)² · e^b/λ · (-b/λ²)

        = -5·a·λ^-6 · 1/(e^b/λ - 1) + ab·λ^-7 · e^b/λ / (e^b/λ - 1)² 

#4, Hvor kommer det sidste stykke fra: e^b/λ · (-b/λ²) 

Når man bruger produktreglen er det jo f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)

#5

Ja, men man benytter også differentiation af en samme nsat funktion Den sidste del  e^b/λ · (-b/λ²) kommer fra differentiationen af e^b/λ .

#6, Så giver det god mening. 
Jeg prøver lige at finde ud af hvordan du fået det til at give (b/λ)·e^b/λ/(e^b/λ - 1) = 5 eller (5 - (b/λ))·e^b/λ = 5. Jeg får nemlig et mere vanskeligt tal, men jeg prøver mig lige frem.

#7

I ligningen

(b/λ)·e^b/λ/(e^b/λ - 1) = 5

ganger man over med (e^b/λ - 1) til

(b/λ)·e^b/λ = 5·(e^b/λ - 1) ,

hvoraf man så får

(5 - (b/λ))·e^b/λ = 5

#8, Min fejl. Jeg mente hvordan du får: (b/λ)·e^b/λ/(e^b/λ - 1) = 5 ud af B'(λ) = 0

Der siger min lommeregner:
5·(e^b/λ -1)·x - b·e^b/λ = 0 eller a = 0

#9

Hvad er x ?

Man sætter så

B'(λ) = -5·a·λ^-6 · 1/(e^b/λ - 1) + a·λ^-5 · (-1)/(e^b/λ - 1)² · e^b/λ · (-b/λ²)

        = -5·a·λ^-6 · 1/(e^b/λ - 1) + ab·λ^-7 · e^b/λ / (e^b/λ - 1)²  = 0 

og ganger ligningen med (λ⁶/a)·(e^b/λ - 1) til

-5 + (b/λ)·e^b/λ / (e^b/λ - 1) = 0 

eller

(b/λ)·e^b/λ = 5·(e^b/λ - 1)

#10, x skulle ikke stå der. Der skulle stå λ

Men hvorfor ganges ligningen med (λ⁶/a)·(e^b/λ - 1)?

#11

Det gør jo netop, at ligningen

-5·a·λ^-6 · 1/(e^b/λ - 1) + ab·λ^-7 · e^b/λ / (e^b/λ - 1)²  = 0

bliver mere overskuelig.

Man dividerer med faktoren til -5 i det første led.

#12, Så ligningen vil altså hedde:

-5·a·λ^-6 · 1/(e^b/λ - 1) + ab·λ^-7 · e^b/λ / (e^b/λ - 1)²  = 0

Ganget med (λ⁶/a)·(e^b/λ - 1)

-5 · ab·λ^-7 · e^b/λ / (e^b/λ - 1)²  = 0

Divideret med -5

ab·λ^-7 · e^b/λ / (e^b/λ - 1)²  = 5

Hm, jeg kan ikke helt se hvordan du har fået dit resultat.

#13

Nej, ikke divideret med -5. Læs hvad jeg skrev: "dividerer med faktoren til -5" . Man dividerer med

a·λ^-6 · 1/(e^b/λ - 1) .

Det er det samme som at gange med

(λ⁶/a)·(e^b/λ - 1) .

Ganger man ligningen

-5·a·λ^-6 · 1/(e^b/λ - 1) + ab·λ^-7 · e^b/λ / (e^b/λ - 1)²  = 0

med 

(λ⁶/a)·(e^b/λ - 1)

får man

-5 + (b/λ) · e^b/λ / (e^b/λ - 1) = 0

#14, Hvis man ganger med (λ⁶/a)·(e^b/λ - 1), er det så ikke 

-5 + (b·λ) · e^b/λ / (e^b/λ - 1) = 0

som vil være tilbage. Hvordan kan det være, at det bliver til b/λ?

#15

Fordi der står (med udeladelse af nogle faktorer) 

ab·λ^-7 · (λ⁶/a) = b · λ^-7+6 = b/λ 

#16, Når.

Lige et sidste spørgsmål. Hvordan kan λ_max·T = hc/(4,965114·K) være Wiens forskydningslov? Den hedder jo λ_max·T = b, hvor b = 2,9·10^-3 K·m 

Men hvis vi udregner hc/(4,965114·k), får jeg at (6,62·10^-34 J·s · 3·10⁸ m/s) / 4,965114 K = 4,0 · 10^-26. Det skulle gerne give 2,9·10^-3 K·m

Når, det var Boltzmanns konstant. Jeg har den nu. Tusind tak for hjælpen :) 

#18

Ja, k var Boltzmanns konstant.

Måske mener du "nå", ikke "når".

#19, Ja. Tak, du har været en stor hjælp!