Differentiering og monotoniforhold

Det tegn betyder tilhører. Dvs. din x-værdi kan antage værdierne -1:4. 

Du skal finde f'(x)=0. Også løse for x. Du får en 2. gradsligning, så brug diskriminanten til at bestemme dine løsninger. 

Dette skal du se på, hvordan fkt. bevæger sig før og efter punktet. Dvs. hvis du f.eks. får x=8. Så kigger du på f'(7) og f'(9). 

Opgave 3:

En funktion f er bestemt ved

f(x) = x³ - 5x² + 3x     x ∈ [-1;4]

Bestem funktionens monotoniforhold, og angiv værdimængden for f.

Grafen for f har to tangenter, der begge har hældningskoefficient 3.

Bestem koordinatsættet til røringspunktet for hver af disse tangenter.

...................

monotoniændring sker i
ekstremumspunkter, som
kræver
                            f '(x) = 0

                            3x² - 10x + 3 = 0

                                    5 - √(13)               
                             x = --------------  ≈ 0,7
                                         2                               


               

korrektion for fejltastning i #2

 

monotoniændring sker i
ekstremumspunkter, som
kræver
                            f '(x) = 0

                            3x² - 10x + 3 = 0

                                 x = (1/3)   v   x = 3


               

   f '(x) = 3•(x-(1/3))•(x-3)

monotoniforhold:
   for -1 < x < (1/3) er f '(x) > 0, hvorfor f(x) er monotont voksende
   for (1/3) < x < 3 er f '(x) < 0, hvorfor f(x) er monotont aftagende
   for 3 < x < 4 er f '(x) > 0, hvorfor f(x) er monotont voksende

 

  …hvoraf ses, at
                              f(x) har lokalt minimum for x = 3
                              funktionsværdierne f(-1) og f(3) sammenlignes derfor:

                                    f(-1) = f(3) = -9
                              dvs f_min = -9

                       og  
                              f(x) har lokalt maksimum for x = (1/3)
                              funktionsværdierne f(1/3) og f(4) sammenlignes derfor:

                                    f(1/3) = (13/27) ≈ 0,48
                                    f(4) = -4
                       hvoraf
                                    f_max = 13/27

heraf
                                    Vm(f) = [-9;¹³/₂₇]
                             

tangenter
                         f '(x) = 3 = 3x² - 10x + 3 

                         3x² - 10x = 3x•(x - (10/3)) = 0 …