Integration

Skal den øvre grænse ikke være 10π ?

Hvad har du gjort ?

Tip brug formlen for det dobbelte af sinus en vinkel til at omskrive sin(0,2t)

Foretag substitutionen u = 0,1t , du = 0,1 dt . Så har man

C_α = ₀∫^π sin(u)·sin(2u) du / ₀∫^π sin²(2u) du , og

C_h = ₀∫^π sin(u)·sin(2u) du / ₀∫^π sin²(u) du .

Integralet i hver af tællerne er

₀∫^π sin(u)·sin(2u) du = 2 · ₀∫^π sin²(u)·cos(u) du = 2·(₀∫^π/2 sin²(u)·cos(u) du + _π/2∫^π sin²(u)·cos(u) du)

                                = 2·( ₀∫¹ sin²(u)·d(sin(u)) + ₁∫⁰ sin²(u)·d(sin(u)) )

                                = 2·0

                                = 0

#1

Min fremgangsmåde var noget i retning af dén i #2, men jeg kom ikke frem til det samme udtryk i tælleren.

Grænsen går helt præcist fra 0 til og med 10π, korrekt.

#2

1) Hvorfor har du ændret grænsen fra 0-10π til 0-π?

2) Hvordan kommer du helt præcist til:

2·( ₀∫¹ sin²(u)·d(sin(u)) + ₁∫⁰ sin²(u)·d(sin(u)) )?

Jeg tror ikke, at jeg har set notationen d(sin(u)) før.

#3

Grænserne ændres på grund af substitutionen substitutionen u = 0,1t , du = 0,1 dt  . Når t løber fra 0 til 10π, løber u fra 0 til π. Man skal benytte de grænser, der hører til integrationsvariablen.

På intervallet u ∈ [0,π] er sin(u) voksende i ]0;π/2[ og aftagende i ]π/2;π[. Man er derfor nødt til at dele integralet op i to i overensstemmelse med monotoniforholdene, når der skiftes variabel igen fra u til sin(u).

Der indføres i realiteten en ny substitution w = sin(u), dw = d(sin(u)) = cos(u) du , dog uden at indføre den nye variable.

#4

1) Ændring af grænser giver god mening, men er man virkelig nødsaget til at dele integralet op i to dele? Det er måske nødvendigt, hvis man skal regne det ud i hånden?

2) Hvordan kan du 'bare' sætte følgende udtryk lig 0:

₀∫¹ sin²(u)·d(sin(u)) + ₁∫⁰ sin²(u)·d(sin(u))

Er det noget du kunne vurdere eller har du regnet det ud?

#5

1) Man kan kun foretage en substitution u = g(x) i et integral, når den substituerende funktion g er en monoton funktion af x. Derfor opdeles integralet i delintervaller, indenfor hvert af hvilke den substituerende funktion
sin(u) er en monoton funktion af u.

2) Du burde være bekendt med, at

_a∫^b f(x) dx = - _b∫^a f(x) dx .

Derfor summeres de to integraler til 0.

#6

1) Sådan som jeg forstår det, så opdeler man integralet i flere bidder, når man arbejder med substitution. Er det korrekt forstået? Man ville ikke gøre det samme nummer, hvis man løste integralet uden substitution?

2) Kan man virkelig opstille integralet uden at skrive, hvad man integrerer i henhold til? I integralet ₀∫¹..., har vi ikke noget til sidst, fordi denne ligger 'gemt' i substitionen d(sin(u)). Kan man det?

#7

1) Man kan kun foretage substitution i et integral, når den substituerende funktion er en monoton funktion af den oprindelige integrationsvariabel. Grænserne skal jo ændres, når der substitueres.

2) Jeg forstår ikke hvad du mener her.

I integralerne

₀∫¹ sin²(u) d(sin(u)) + ₁∫⁰ sin²(u) d(sin(u))

er det da helt klart, at der integreres efter sin(u) som variabel. Man kunne derfor også skrive

₀∫¹ sin²(u) d(sin(u)) + ₁∫⁰ sin²(u) d(sin(u)) = ₀∫¹ w² dw + ₁∫⁰ w² dw = ₀∫¹ w² dw - ₀∫¹ w² dw  = 0

#8

Perfekt. Tak for tålmodigheden - og godt nytår. :-)

#8

Nu når jeg ser på #2:

₀∫^π sin(u)·sin(2u) du,

så har du bare sat dt = du.

Skulle der helt præcist ikke stå dt = du/0,1 = 10du, men det ændrer selvfølgelig ikke på det endelige resultat.

#10

Jo, i en mellemregning vil det sådan ud, men der er tale om en brøk, hvor en faktor 10 i både tæller og nævner kan forkortes væk. Jeg gik ud fra, at du på videregående niveau selv ville kunne foretage den slags mellemregninger.

#11

Det er jo misvisende, når du i #2 kun fokuserer på tælleren.

Men lad det nu ligge - opgaven er løst. Tak.