Matematik
et par nemme spørgsmål om differentialligninger
bestem den løsning til differentialligningen, de går gennem (x0),y0), når:
b) dy/dx=(yx+2y)/x og (x0,y0)=(1,1)
Er kommet så langt så jeg har sepereret:
dy/dx=(yx+2y)/x = dy/dx=y(x+2/x) = dy/dx=y((x/x)+(2/x))
<=>
dy/dx=y((x/x)+(2/x))<=>(1/y)dy=(1+(2/X))dx
så integrerer jeg:
S (1/y)dy = S (1+(2/X))dx <=> ln(y)= x-(x^-1) + k
Er det rigtigt indtil videre? og hvorfor kan jeg fjerne det numeriske tegn omkring y?
på forhånd mange tak.
-Mettma
Svar #1
16. november 2005 af DMUS (Slettet)
S[1+(2/x)]dx <=> x+2ln(x)+k
Du kan fjerne det nummeriske tegn fra y, fordi den partikulære løsning er (1,1), hvilket vil sige at y>0, på den måde bliver det nummeriske tegn unødvendigt.
Svar #3
16. november 2005 af Epsilon (Slettet)
Ingen biimplikation her; vi har at gøre med en identitet.
//Epsilon
Svar #5
17. november 2005 af Dominik Hasek (Slettet)
Det Epsilon mener er, at det skal være et lighedstegn, ikke en biimplikationspil.
Svar #6
17. november 2005 af allan_sim
At der er forskel på brug af lighedstegn og dobbeltpile.
Lighedstegn bruger du, når udtrykkene på hver side af tegnet er lig med hinanden. Dobbeltpile (biimplikationer) bruger du, når der på hver side af pilen er udsagn, der har samme løsningsmængde.
Svar #7
17. november 2005 af Epsilon (Slettet)
At biimplikationen (<=>) i denne kontekst:
S[1+(2/x)]dx <=> x+2ln(x)+k
er meningsløs. Biimplikationer bruges (og må kun bruges) mellem ensbetydende udsagn. Men vi har ikke to udsagn ovenfor; faktisk slet ingen.
Til venstre står et ubestemt integral, som via ledvis integration ses at være lig med funktionen til højre (idet x > 0).
Ergo,
S[1+(2/x)]dx = x + 2ln(x) + k.
//Epsilon
Svar #8
17. november 2005 af DMUS (Slettet)
Læste godt noget om det, men længe siden, tak for genopfriskningen...
Ved lignings løsning, bruger vores lære ofte, => og <=>, hvad er så korrekt og ukorrekt...
Svar #9
17. november 2005 af Dominik Hasek (Slettet)
Man går (næsten) aldrig galt i byen, hvis man bruger =>. Derimod er <=> er stærkere krav, men i gymnsiet er det dog ikke ret tit, at dette går galt.
Svar #10
17. november 2005 af DMUS (Slettet)
=> læses bare som, "blir til"? Eller har det et tilsvarende fremmedord? ;P
Svar #11
17. november 2005 af Epsilon (Slettet)
Det kan man ikke svare på uden konkrete eksempler.
Hvorom alting er, så er den sikre vej oftest en kæde af (højre)implikationer (=>) for at vise, at _hvis_ der er løsning(er), _så_ må det være denne/disse. Dernæst gør man prøve; dvs. man tager den eller de postulerede løsninger og kontrollerer, at ligningen er opfyldt (<=).
Ad den vej kan man vide sig sikker på, at man har fundet samtlige løsninger til den givne ligning (<=>).
Hvis ikke man er tilstrækkelig trænet i anvendelse af biimplikationer, er det tilrådeligt, at man holder sig til ovenstående fremgangsmåde ved ligningsløsning.
//Epsilon
Svar #12
17. november 2005 af Dominik Hasek (Slettet)
"<=>" læses "hvis og kun hvis".
F.eks. "A medfører B" og "x+1 = 2 hvis og kun hvis x = 1".
Svar #14
17. november 2005 af DMUS (Slettet)
Ye, okay.
Tror jeg har fat i det nu, f.eks. ved løsning af ligning, bruges => (højre-implikation) da man går fra lad os sige trin 1 til trin 2, i målet om at nå vorse løsning...
Hvis man skal eftervise løsningsen, brugse <=, da man så at sige går den anden vej...
I tilfældet som eks. i #12, bruges biimplikation, da der KUN er en løsning..
Thx, everyone.. :P
Svar #15
17. november 2005 af Epsilon (Slettet)
Hvis du er interesseret i matematisk logik og bevisførelse, vil jeg da hellere end gerne anbefale dig to bøger, hvori man får en udmærket introduktion:
- Jørgen Brandt og Knud Nissen: QED - en introduktion til matematisk bevis, Abacus, 1996.
- Ebbe Thue Poulsen: Funktioner af en og flere variable, Gads Forlag, 2002.
Især førstnævnte er velegnet, hvis man ønsker en dybdegående behandling. Ebbe Thues bog indeholder "kun" et 25 siders appendiks om symboler, logik og beviser, idet bogen fortrinsvis er reserveret andre emner (bevisførelse er en naturligt integreret del), som det også fremgår af titlen.
//Epsilon
Skriv et svar til: et par nemme spørgsmål om differentialligninger
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.