Kugle

Opgaven er måske beslægtet med denne

https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1431623

Hvis kuglen har centrum i C og radius r, og n er en normalvektor til planen, vil røringspunktet Q være et af de to punkter med stedvektoren

OQ = OC + r·n/|n| .

Vælg det punkt af de to punkter, der ligger i den givne plan.

Tangentplanen
                α:   ax + by + cz + d = 0                      med normalvektor  n = [a,b,c]

kuglen
                k:   (x-e)² + (y-f)² + (z-g)² = r²             med centrum C = (e,f,g)  og radisus  r

Planens røringspunkt Q = (x,y,z)
findes af
                OQ = OC + CQ

                [x,y,z] = [e,f,g] ± r•n/|n|            hvor du til slut lige må efterprøve, om det er minus eller plus,
                                                                der har relevans for røringspunktet Q. Det sidste får du ved
                                                                at indsætte dit beregnede røringspunkts koordinater i
                                                                planens lignings venstre side. Giver den efterfølgende reduktion
                                                                ikke 0, skal tegnet skiftes.

Det tror jeg, jeg har planens ligning, som er:
-2x+2y-z-26=0

og kuglens ligningen, som er (x-2)²+(y-2)²(z-1)²=81

Jeg skal bestemme røringspunktets koordinater, der hvor planen tangere kuglen. Kan man kalde det for en tangentplan?

Kald linjens normalvektor n. Kaldes berøringspunktet P og centrum for kuglen C samt radius for kuglen r Der gælder   OP = OC+CP = OC±r*n/|n| Det ene fortegn giver det søgte punkt. Det andet fortegn, det diametralt modsatte punkt. Indsæt det fundne punkt i planens ligning for at afgøre hvilken, der er rigtig

#3

Ja, en plan, der tangerer kuglen, er en tangentplan til kuglen. Se forklaringen i #1. Man benytter, at en radius til et punkt i en kugle står vinkelret på tangentplanen i punktet.

Jeg kan godt forstå noget af formlen: OQ = OC + r·n/|n|, jeg forstår ikke hvorfor man ganger normalvektoren med radius?

Det er fordi afstanden mellem punktet på kuglens overflade og centrum af kuglen er radius

#6

Vektoren n/|n| er en enhedsvektor, der er parallel med normalvektoren. Den har længden 1. Vektoren

 r·n/|n|

har længden r (cirklens radius).

Man kommer til røringspunktet Q ved først at gå til cirklens centrum (OC), og derfra går man længden r i normalvektorens retning (enten den ene vej eller den modsatte vej) for at komme fra centrum til et punkt på kuglens overflade.

Okay, jeg tror jeg er med nu, jeg skal bare være sikker. Ved at dele normalvektorens koordinater med normalvektoren længde, får jeg en enhedsvektor?

#9

Ja. Når man dividerer en vektor med dens længde får man en vektor, der har længden 1. En sådan vektor kaldes en enhedsvektor.

Planens røringspunkt Q = (x,y,z)
findes af
                OQ = OC + CQ

                [x,y,z] = [e,f,g] ± (r/|n|)•n

                [x,y,z] = [2,2,1] ± (9/3)•[-2,2,-1]

Tusind tak!

Hvad betyder diametralt modsatte punkt?

Grunden til at det er: ± r·n/|n|, er der fordi at normalvektoren kan gå begge veje?

#12

Normalvektoren n/|n| peger i en ganske bestemt retning. I stedet for at undersøge, om vektoren i denne opgave peger fra planen mod cirklens centrum, eller fra planen væk fra cirklens centrum, kan man beregne begge punkter og så udvælge det, der faktisk ligger i planen. Det andet punkt ligger jo i afstanden 2r fra planen.

Mange tak!

Jeg kan ikke få den til at gå op, jeg har regnet den i gennem 2 gange, og jeg kan ikke spotte fejlen. Jeg får:

OQ=[4,8,-2] el. OQ=[8,-4,4]

Men ingen af dem passer i planens ligning.

#14

Man har

OC = [2,2,1] , r = 9 og n = [-2,2,-1], så |n| = 3 . Dermed er

OQ = OC ± r·n/|n| = [2,2,1] ± (9/3)·[-2,2,-1] = [2,2,1] ± [-6,6,-3] ,

dvs

OQ = [-4,8,-2] eller OQ = [8,-4,4] .

Planens ligning er

-2x+2y-z-26 = 0 ,

og det ses, at punktet med stedvektoren OQ = [-4,8,-2] tilfredsstiller ligningen.

 Tusind tak for hjælpen!

[x,y,z] = [2,2,1] ± [-6,6,-3]
                                           [x,y,z] = [-4,8,-2] 
                          eller
                                           [x,y,z] = [8,-4,4]
 

                          

evt.
        afstandsberegning - med fortegn - af C
        til plan
        
                                                    -2·2 + 2·2 - 1 - 26
                              dist(C,Q) =  --------------------------
                                                  √(-2)²+(2)²+(-1)²)

                              dist(C,Q) = -27/3 = -9

        C ligger altså i tangentplanens negative halvrum regnet i forhold til normalvektor n = [-2,2,-1]'s
        retning.
        Vektor CQ er derfor enrettet med n,
        hvoraf

              OQ = OC + CQ

                [x,y,z] = [e,f,g] + (r/|n|)•n

                OQ = [2,2,1] + (9/3)•[-2,2,-1]

                OQ = [2,2,1] + [-6,6,-3]

                OQ = [2,2,1] + [-6,6,-3] = [-4,8,-2]

                Q = (-4,8,-2)  da et punkt har samme koordinater som sin stedvektor.