Matematik

Vektorregning igen

17. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

Jeg skal bestemme projektionen af vektor a på b, hvor vektor b = 3/2*a+â og |a|=3. Således ser mine beregninger ud:

((a * b) / 3^2)*a = (a * (3/2*a+â) / 9)*a = (3/2*|a|^2+0 / 9)*a = 3/2*9 / 9 = 3/2 * a.

Ser dette korrekt ud, og hvad gør jeg med 3/2*a?

Svar #1
17. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

- jeg skal forresten gøre opmærksom på, at vi arbejder i planen (R^2) og at jeg skal finde længden af projektionen

Brugbart svar (0)

Svar #2
17. november 2005 af Epsilon (Slettet)

Det er ikke korrekt; du projicerer b på a, men ifølge dine indlæg skal du bestemme længden af projektionen af a på b, hvor

proj_b_(a) = (a*b/|b|^2)b (*)

Måske er i vant til at skrive 'a_b' for projektionsvektoren proj_b_(a); men det er bare notation.

Find et udtryk for længden af projektionsvektoren i (*); husk hvorledes længden af en vektor er defineret.

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. november 2005 af Epsilon (Slettet)

For pokker da; der skulle i #2 have stået:

"Måske er I vant til (...)"

//Epsilon

Svar #4
17. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

(a*b/|b|^2)b = (3/2|a|^2 + 0 / |3/2a + â|^2)*a

Længden af |3/2a + â|^2 får jeg til 9/4|a|^2+|a|^2+0 = 13/4|a|^2, hvor |a|=3

Altså (3/2|a|^2 / 13/4|a|^2)*b, men alt dette er jo kun projektionen. Hvorledes finder jeg så længden?

Brugbart svar (0)

Svar #5
17. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#4:
Husk nu længdedefinitionen: kvadratet på længden af en vektor a er defineret til at være vektorens skalarprodukt med sig selv;

|a|^2 = a*a

Udnyt dette, enten direkte ud fra projektionsformlen eller efter, at du har bestemt projektionen.

//Epsilon

Svar #6
17. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

Jeg håber du kan verificere dette:

(a*b/|b|^2)b = (3/2|a|^2 + 0)/|3/2a + â|^2))*b = (3/2|a|^2 + 0)/|2,25|a|^2 + |a|^2 + 0))*b = (13,5 / 29,25)*b

Hvis dette er korrekt, hvordan skal jeg så gange b på? Selv efter dette er gjort, er jeg stadigvæk efterladt med at finde længden af projektionen. Jeg har kun arbejdet med projektioner, hvor man fik oplyst to punkter omkring b, og ligeså med vektor a. Dette er måske en kærkommen mulighed for at avancere, men jeg synes det er problematisk.

Svar #7
17. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

Så vidt jeg har fundet frem til, vil længden af projektionen være lig med |b*a|/|b|?

Hvis dette er korrekt, må det give: |(3/2a+â)*a|/|3/2a+â| = 3/2|a|^2/(9/4|a|^2+|a|^2?

Brugbart svar (0)

Svar #8
17. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#6:
Det er korrekt og kan simplificeres til

a_b = (6/13)b.

Alternativt kan du bemærke, at |a|^2 kan bortforkortes,

a_b =
((3/2)|a|^2)/((13/4)|a|^2)b =
((3/2)(4/13))b =
(6/13)b

Uanset hvad, har vi

|a_b|^2 =
(a_b)*(a_b) =
((6/13)b)*((6/13)b) =
((6/13)^2)(b*b) =
((6/13)^2)|b|^2,

og |b|^2 kender du jo fra tidligere.

Den strengt teoretiske vej er at tage udgangspunkt i projektionsformlen,

a_b = {(a*b)/|b|^2}b

(tuborgklammerne er alene til for at fremme læseligheden).

Nu gælder det om at holde tungen lige i munden og andre legemsdele på deres rette pladser, så man ikke kvajer sig.

Dertil sætter vi s = (a*b)/|b|^2, hvorved

|a_b|^2 = (a_b)*(a_b) = (sb)*(sb) = (s^2)(b*b) =
(s^2)|b|^2

Dermed fås, idet vi genindfører udtrykket for s, at

|a_b| = sqrt((s^2)|b|^2) = |s|b|| = |a*b|/|b| (*)

er længden af projektionen a_b af a på b. Der gælder naturligvis en helt tilsvarende formel for |b_a|,

|b_a| = |a*b|/|a|.

Du bedes kontrollere, at (*) giver præcis samme resultat, som vi så længere oppe.

//Epsilon

Svar #9
17. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

Jeg siger tusind tak for hjælpen. Begge resultater stemmer fint overens med hinanden, så det er bare helt perfekt.

Skriv et svar til: Vektorregning igen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.