Summation og gennemsnit

Man benytter, at middelværdierne (jeg skriver dem her som <x> og <y>) er

<x> = (1/n)·∑x_i    og   <y> = (1/n)·∑y_i  .

Derfor har man

∑(x_i - <x>)·(y_i - <y>) = ∑(x_iy_i - <y>x_i - <x>y_i + <x><y>)

                              = ∑x_iy_i - <y>∑x_i - <x>∑y_i + <x><y>∑1

                              = ∑x_iy_i - <y>·n<x> - <x>·n<y> + <x><y>·n

                              = ∑x_iy_i - n·<x><y>

                              = ∑x_iy_i - (1/n)(∑x_i)(∑y_i)

∑(x_i - <x>)² = ∑(x_i² -2<x>x_i + <x>²) = ∑x_i² -2<x>∑x_i + <x>²∑1

                                                    = ∑x_i² - 2<x>·n<x> + <x>²·n

                                                    = ∑x_i² - n·<x>²

                                                    = ∑x_i² - (1/n)·(∑x_i)²

Heraf følger den første ligning i det vedlagte.

#1 Tusind tak!  Desværre jeg falder af ved de sidste to linjer:

= ∑x_iy_i - n·<x><y>

= ∑x_iy_i - (1/n)(∑x_i)(∑y_i) 

Når der ganges ¹/_n ind i (∑x_i)(∑y_i), så bør man kun gange en af faktorerne, da det er et enkelt led. Altså:

 ∑x_iy_i - (1/n)(∑x_i)(∑y_i) =  ∑x_iy_i - <x_i>(∑y_i)  

Eller den anden:

 ∑x_i² - (1/n)·(∑x_i)² =  ∑x_i² - (1/n)·(∑x_i)·(Σx_i) = ∑x_i² - <∑x_i>·(Σx_i)

#2

Man har

n·<x><y> = n · ((1/n)·∑x_i ) · ((1/n)·∑y_i ) = (1/n) · (∑x_i ) · (∑y_i )

Det pirrede mig i en evighed, at jeg ikke kunne få det til at gå op. Men takket være dig går det endelig op - Igen tusind tak!