Henfalds opgave

O7 Orbit 2?

Jeg antager, at du selv kan opskrive reaktionsskemaet.

A = k*N
k = ln2/T½
N = n * N[A] (N[A]= Avagadros tal og n = m/M)

Facit: 3,22 GBq - så kan du se om du får det samme uden jeg har lavet det hele

Det korrekte svar på første spørgsmål står at læse i #1. Lad mig derfor blot kommentere det sidste spørgsmål.

Vi betragter de to henfaldsprocesser,

(1) Cs-137 --ß^(-)--> Ba*-137
(2) Ba*-137 -> Ba-137 + gamma.

'Reaktionsskemaet' i (1) er skematisk.

ad (1)
Vi har 1,0 mg Cs-137, som henfalder med halveringstiden T_½,Cs = 30 år. Henfaldsloven udsiger, at det resterende antal Cs-kerner til tiden t er

N_Cs = (N_0)(exp(-(k_Cs)t), t >= 0

hvor k_Cs = ln(2)/T_½,Cs.

ad (2)
Som udgangpunkt antages tilstanden Ba*-137 at være upopuleret (tom). Når Cs-kernerne henfalder, populeres tilstanden Ba*-137 med hastigheden -dN_Cs/dt (= A_Cs; aktiviteten fra Cs-kilden). Sideløbende hermed henfalder Ba*-137 til Ba-137 med halveringstiden T_½,Ba* = 156s. Fra starten af er aktiviteten af Cs langt større end aktiviteten af Ba*, så populering af Ba*-137 vil klart dominere over henfald af Ba*-137. Men efterhånden som Ba*-tilstanden populeres, vil aktiviteten vokse, og på grund af den relativt korte halveringstid (156s << 30år), vil et stadigt større antal Ba*-kerner henfalde. Henfaldsraten kan dog aldrig overstige populeringsraten, så efter et stykke tid må en kerneligevægt indstille sig. Med andre ord vil antallet af Ba*-137-kerner stabiliseres, og det er netop dette antal, hvortil der spørges.

Anskues disse overvejelser matematisk, må 'nettopopuleringsraten' dN/dt for Ba*-137 være

(*) dN/dt = A_Cs - A_Ba* = A_Cs - (k_Ba*)N,

hvor N er det tilbageværende antal Ba*-137-kerner. Både A_Cs og N afhænger af tiden; men bemærk dog, at

T_½,Cs = 30 år >> 156s = T_½,Ba*.

Denne enorme forskel i halveringstid har som konsekvens, at A_Cs aftager meget langsomt i forhold til den tid, det tager at populere Ba*-tilstanden, og kerneligevægten når derfor at indstille sig så tilpas hurtigt, at man mageligt kan regne A_Cs for konstant inden for dette tidsrum.

Foretag den netop begrundede modifikation af (*) og find derved et udtryk for det konstante antal Ba*-kerner i kilden, når ligevægten har indstillet sig. Bemærk, at dette _ikke_ kræver løsning af differentialligningen.

Den således benyttede model for udviklingen i antallet af Ba*-kerner betegnes i matematisk terminologi som en 'asymptotisk vækstmodel'.

Elever, som har beskæftiget sig med modellering med differentialligninger, vil i øvrigt bemærke, at antallet af Ba*-kerner i kilden derved estimeres som den øvre grænse

lim N(t)
t -> infty

//Epsilon

Jeg har samme opgave for. Men jeg fatter altså ikke det sidste?

Hvordan ser det matematisk ud?

#3:
Foretages den foreslåede modifikation af differentialligningen (*) i #2, har vi

dN/dt = A - (k_Ba*)N,

hvor A er Cs-137-aktiviteten, som kan regnes for konstant inden for det tidsrum, hvor den exciterede tilstand Ba*-137 populeres.

Overvej, at man kan besvare spørgsmålet ved at løse ligningen

dN/dt = 0.

//Epsilon